On se place dans un espace probabilisé (W,P). W est donc l'univers et P une probabilité sur W.
Si A est une partie de W, on peut définir la restriction P' de P à A de la façon suivante:
                               "Pour tout B événement de W, P' (B) = P(A B)."
Ceci revient simplement à mesurer la partie de B qui est dans A à l'aide de la probabilité P.
Si on veut connaitre l'influence de A sur B, ou autrement dit, dans quelle mesure A influence B, on définit alors ce que l'on appelle la probabilité induite sur A par P qui est la probabilité conditionnelle "sachant A".

Prenons un exemple qui est relève de la réponse directe.
Si on demande à quelqu'un quelle est la probabilité de choisir un nombre entier au hasard et de donner un entier pair, il répond "1 chance sur 2" partant induitivement du principe qu'un entier sur 2 est pair.
Mais si on lui demande dire qu'elle est la probabilité de choisir un entier pair parmi les entiers 1 ou 2 ou 4 , il répond directement "2 chances sur 3".
Dans les deux cas, il applique le même principe.
Le second cas n'est qu'une "restriction" du premier cas.
On peut reposer la deuxième question à la personne en disant
       " Probabilité de choisir un entier pair SACHANT que cet entier est 1 ou 2 ou 4 "
La probabilité prise en compte dans la deuxième question est induite par la probabilité général que l'on appliquait dans la première question.

Maintenant, prenons le cas où P(A) est non-nul et posons la question :
  " Quelle est la probabilité de B, événement de W , sachant que les possibilités se limitent à A?"
La question se pose bien sur une probabilité.
On est donc amené à définir une probabilité sur W qui réponde à question.
Mais comme il y a "sachant A", il est tendant de répondre à cette question en disant:
                                                  " C'est P(A B) !!!"
La réponse est juste si on a A = W.
Mais dans le cas général, P(A B) ne définit pas une probabilité sur W par une simple raison, on n'a pas P(A W) = 1.
Le seul moyen que l'on ait de choisir une probabilité est alors de pondérer P(A B) par P(A).
C'est à dire, on évalue le poids de (A B) par rapport au poids de P(A), en terme de probabilité.
On pose alors, comme défintion:

DEFINTION:
Si (W,P) est un espace probabilisé, Si A un événement tel que P(A) soit non-nul, alors
on appelle Probabilité Conditionnelle "Sachant A" ou Probabilité Induite par A, la probabilité P_A définie sur W par  :
                         ""

On note souvent cette probabilité   P(B / A)  ou  P(B sachant A).
Il s'agit bien d'une probabilité sur W car on a:   
                 P_A(W) = 1        et         P_A(C U D) = P_A(C) + P_A(D) si C et D sont disjoints.
Maintenant, A et B sont deux événements indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Par exemple, on dit que les résultats d'une classe à un test est indépendant de la taille moyenne des élèves de cette classe, si le fait de connaitre la moyenne des tailles ne permet en rien de prédire quoi que ce soit sur les résultats du test.
Autrement si, Savoir la taille moyenne des élèves ne changent pas les résultat les résultats du test.

On obtient alors la définition suivante:
Définition de deux événements indépendants:
 A et B sont deux événements indépendants si P_A(B) = P(B) et P_B(A) = P(A).
De la défintion d'une probabilité conditionnelle, on voit alors que A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A)P(B).

Exemples:

1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
   Les faces 3 et 6 sont blanches.
   Les faces 1 , 2 et 4 sont noires.
   La face 5 est verte.
   Quelle est la probabilité d'obtenir une face avec un numéro pair sachant que la face est blanche?
   Si on fait l'hypothèse de l'équiprobabilité d'apparition des faces, on voit directement que la probabilité cherchée est : 0,5
   Comme la probabilité d'avoir un numéro pair est 0,5 , on peut dire que dans ce cadre, les événements
   "face pair " et "face blanche" sont deux événements indépendants.
    
2. Si, maintenant, le dé est truqué et si on a les probabilités des événements élémentaires suivantes:
             P({1}) = 0,1    ;    P({2}) = P({3}) = P({4}) = 0,2     ;   P({5}) =  P({6}) = 0,15
   alors la probabilité de l'événement A = "face blanche" est : P(A) = 0,45.
   Si B est l'événement "numéro pair" alors P(B) = 0,55.
   De plus, P(A B) = 0,15
   Donc, la probabilité conditionnelle "B sachant A" est  : .
   Dans ce cadre, les événements ne sont plus indépendants.
   On voit donc que l'indépendance de 2 événements n'est une propriété propre aux événements eux-mêmes, mais à la probabilité définie sur l'univers.
      

Propriétés sur l'indépendance de 2 événements:
Si A et B sont deux évenements indépendants d'un espace probabilisé alors:
                      et B sont indépendants   et      et     sont indépendants

• On vérifie assez facilement ces propriétés.
  Remarquons qu'il suffit de montrer que et B sont indépendants. De plus, on a:
  P( B)  + P(A B) = P(B)   donc P( B) + P(A).P(B) = P(B) si A et B sont indépendants.
  D'où, comme P(A) = 1 - P() , on obtient :
  P( B) = P(B) - P(B).P(A)
                 = P(B).{1 - P(A)}
                 = P(B).P().
  Ce qui montre que et B sont bien indépendants.
  

Remarque pour l'indépendance de 3 événements:
Considérons maintenant 3 événements A , B et C d'un même espace probabilisé.
Supposons que A et C soient indépendants ainsi que B et C.
Peut-on alors en déduire que (A U B) et C sont indépendants ou que (A B) et C sont indépendants?
La réponse dans le cas général est NON!