Opérateurs Logiques ET / OU

 Dans le cadre des ensembles, les deux opérateurs logiques à bien préciser  sont   ET   et  OU.
L'opérateur ET entre deux propriétés ou propositions, signfie que l'on veut que ces deux propriétés soient simultanément vraies.
L'opérateur OU signifie que l'on veut qu'au moins une des propriétés soit vraie, voire les deux.
Par exemple: Si E = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}

  • Les éléments de E qui sont pairs sont    0 : 2 : 4 : 6 : 8 : 10.
    Les éléments de E qui sont divisibles par 3 sont : 0 ; 3 ; 6 ; 9.
    Les éléments de E qui sont pairs ET  divisibles par 3 sont : 0 ;  6.
    Les éléments de E qui sont pairs OU divisibles par 3 sont : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10.

Si on  pose A = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}   et    B = {0 ; 3 ; 6 ; 9}, on peut voir que l'opérateur ET correspond alors à l'intersection de A et B, et que l'opérateur OU correspond à la réunion de A et B.
         A B = {e E / e A  ET  e B}        ;       A U B = {e E / e A  OU e B}
En faisant un diagramme, on peut alors obtenir ceci!

La partie complétement coloriée correspond à la réunion de A et B. C'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A OU à B.

La partie intermédiare correspond à l'intersection de A et B. C'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ET à B.

Toujours en utilisant l'exemple précédent, si on veut exprimer qu'un élément n'est ni dans A, ni dans B, on veut simplement dire qu'il n'est pas dans la réunion de A et de B. Ce sont les éléments 1 , 5 et 7. C'est l'ensemble {1 ; 5 ; 7} qui n'est rien d'autre que le complémentaire de A U B dans E.
Mais on peut aussi dire qu'un élément n'est ni dans A ni dans B signifie qu'il est dans le complémentaire de A ET dans le complémentaire de B.
En utilisant les opérateurs logiques, on écrit alors:
                  "Le contraire de (A OU B)   =   (Le contraire de A) ET (Le contraire de B)"
ou encore    "Le complémentaire de (A U B) = (complémentaire de A) (complémentaire de B)"

De la même façon, on peut voir que
                            "Le contraire de (A ET B) = (Le contraire de A) OU (Le contraire de B)"
On peut résumer tout ceci en disant:
              "NON(A OU B) = NON(A) ET NON(B)"   et   "NON(A ET B) = NON(A) OU NON(B)"     

Prenons un exemple!
Dans un Lycée, il y a des éléves qui font du sport, d'autres de la musique, d'autres du théatre.
Biensur, un élève peut faire aucune de ces activités comme les trois activités à la fois.
Appelons

  • E = ensemble des élèves du Lycée,
  • S = ensemble des élèves faisant du sport,
  • M = ensemble des élèves faisant de la musique,
  • T = ensemble des élèves faisant du théatre.

Le diagramme qui suit résume la situation.
            
Les éléves faisant du sport, du théatre mais pas de musique est l'ensemble: (S T CEM) où
CEM désigne le complémentaire de M dans E.
Les élèves faisant du sport ou de la musique ou du théatre est : (S U M U T).
Les élèves faisant du sport ou de la musiqie, et du théatre est : (S U M) T.
On fait attention à la ponctuation!!
Les élèves faisant du sport ou , de la musique et du théatre est : S U (M T).
Les élèves ne faisant pas de sport et ne faisant pas de musique est : CES    CEM .
Les élèves ne faisant ni sport, ni théatre, ni musique, est : (CES    CET      CEM )

Prenons maintenant la phrase suivante:
    "Jérôme est un élève du Lycée. Il fait du sport, pas de théatre et pas de musique"
On exprime rien d'autre que Jérôme appartient à l'ensemble (S CET   CEM ).