Loi exponentielle et loi de durée de vie sans vieillissement

1 Introduction

Considérons un objet dont la durée vie t en année peut varier sur l'intervalle [0 ; +oo[.
Supposons que cet objet n'a aucune mémoire de son passé, ou plus précisemment, le fait que cet objet ait vécu un nombre d'années T ne change pas la probabilité de sa durée de vie dans les années qui suivent.
Par exemple, que l'objet ait vécu au moins 5 ans ou moins 10 ans, sa probabilité qu'il vive au moins 2 ans de plus est la même.
Si on appelle X la variable aléatoire de la durée de vie de cet objet, on peut traduire cette condition par les relations conditionnelles suivantes:

Pr( X > 7 sachant X > 5) = Pr( X > 12 sachant X > 10).

Si cette propriété de la durée de vie de l'objet ne dépend pas de son passé, en particulier, on doit avoir:

"Pour tout T >  0 , Pour tout k > 0 ,  Pr( X > T + k  sachant X > t ) = P( X > k) "

"La probabilité que l'objet vive au moins k années
si il a vécu au moins T années est égale
à la probabilité qu'il vive au moins k années".

Supposons que X a une fonction de densité f continue.  
Alors , où f(t) > 0 sur [0;+oo[ et .
F étant une primitive de f sur [0;+oo[  (f est supposée continue...), on a alors:
Pr( X < T) = F(T)  et  Pr( X > T) = 1- F(T) . La condition portant sur la probabilité de vie de l'objet s'écrit alors:
(1-F(T+h)) = (1-F(T))(1-F(h)).   En posant G(t) = 1-F(t), on a alors:
G(T+h)  = G(T)G(h).
On remarque alors que:

Or , G est dérivable (G = 1-F) et sa dérivée est -f , d'où, si h tend vers 0, l'égalité:
G'(T) = G(T)G'(0).

G est donc solution de l'équation Y' = -aY  avec a = -G'(0).
On sait (voir le cours sur les équations différentielles) que l'expression de G est alors:
                         G(T) = Ke^-aT  avec K = constante réelle.
Comme G(0) = 1, on a K = 1  d'où   F(T) = 1- e^-aT et   f(T) = ae^-aT .

La variable aléatoire X a donc pour fonction de densité f définie par : f(t) = ae^-at    .
On dit que X suit loi exponentielle de paramètre a.
On peut remarquer que a > 0 .

La fonction F est la fonction de répartition de X:  F(t) = 1-e^-at . De plus:

L'espérance de X est définie par :
Une intégration par parties et un passage à la limite montre alors que l'espérance de X est : E[X] = 1/a.

Definition:
On dit que la variable aléatoire X définie sur [0;+oo[ suit la loi exponentielle de paramètre a > 0
si sa fonction de densité f est définie sur [0;+oo[ par : f(t) = aae^-at   .
On a alors:

Pour tout T > 0 ,
La fonction de répartition de X est définie par F(t) = 1- e^-at.
Pour tout A et B > 0 ,
L'espérance de X est

Propriété Importante: "Non vieillissement"
Pour tout T > 0 et tout h > 0 , Pr( X > T + h sachant X > T) = Pr(X > h)