W est un ensemble non vide. P(W) est l'ensemble des parties de W.
Dans le cadre suivant, W est supposé fini
Définition:
On appelle Probabilité sur W toute application de P(W) sur l'intervalle [0 ; 1] vérifiant les conditions suivantes:
        P(W) = 1
        Pour tout A et tout B appartenant à P(W) tels que A B = F , P(A U B) = P(A) + P(B).

L'ensemble W est alors dit muni de la probabilité P et on dit que (W ; P) est un espace probabilisé.
W est appelé l'Univers . Les éléments de W sont appelés les éventualités.
Les parties de W ou éléments de P(W) sont appelés les événements.
Un événement élémentaire est un événement de cardinal 1 donc de la forme {a} où a W.
Pour un événement quelconque A, le complémentaire de A dans W  est  appelé "événement contraire de A".
On note en général   l'événement contraire de A.

Par exemple, Posons W = {1 ; 2 ; 3}.
On sait alors que W  a exactement 8 sous-ensembles (2³ ).
L'application P définit par :
     P(F) = 0              ;     P({1}) = 0,1       ;       P({2}) = 0,7   ;     P({3}) =0,2    
     P({1;2}) = 0,8    ;    P({1;3}) = 0,3     ;       P({2;3}) = 0,9   ;   P({1;2;3}) = 1
est une probabilité sur W = {1;2;3}.  
On vérifie sans problème que pour tous A et B   P(W) tels que A B = F, on a bien   P(A U B) = P(A) + P(B)

L'idée que l'on peut se faire d'un espace probabilisé est une surface.
Imaginons que l'on vise avec une pointe une surface W. On est assez adroit pour ce pas rater cette surface. On est donc certain de toucher W. On peut donc dire que la probabilité de toucher la surface est 1. 
Si on lance la point au hasard de telle sorte qu'elle puise toucher la surface en n'importe quel point avec une même "chance", la probabilité de toucher une partie précise de  W   est alors proportionnelle à l'aire de cette surface par rapport à celle de W . Si A est une partie de W , on dit alors que
                                           Probabilité de toucher A =          

Propriétés d'un espace probabilisé:
Les propriétés qui suivent résultent directement de la définition de la Probabilité.

1. La probabilité de l'ensemble vide est 0. Effectivement, P( F U W ) = P(F) + P(W) = 1 et P(W)=1
2. Pour tout événement A de W,  on a:  P( ) = 1 - P(A)  car  A U = W ,  A = F et P( W ) = 1.
3. Si A B alors P(A) < P(B) . Car B = A U C_BA et A et C_BA sont d'intersection vide.
4. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) .
5. Remarquons que si A = {a₁ ; a₂ ; ...; a_k} alors A est la réunion disjointe des {a_i}.
   On a donc P(A) = P({a₁})  P({a₂)} + ... + P({a_k})
   La probabilité d'un événement A est la somme des probabilité des événements élémentaires qui composent A.
6. En particulier, si W  = {e₁ ; e₂ ; ....; e_n} alors P({e₁}) + P({e₂}) + ... + P({e_n}) = 1
   La somme des probabilités des événements élémentaires de W est 1.
   On écrit aussi que : .

Cas de l'équiprobabilité:
On dit que W est muni de la probabilité d'équiprobabilité si tous les événement élémentaires ont la même probabilité.
D'après la relation 6: précédente, ceci conduit alors à :
             "Pour tout e W , P({e}) = où n est le cardinal de W."
D'après la propriété 5: on obtient alors:
             
Dans ce cas , si A et B sont événements quelconques:

On résume souvent l'équiprobabilité par cette "formule" :

Par exemple:
Si 10 boules numérotées de 1 à 10 sont placées dans une urne et que l'on choisit au hasard une boule, alors l'ensemble des éventualités ou l'Univers est l'ensemble des choix possibles d'une boule parmi les 10.
Comme les boules sont numérotées, on peut poser que W = {1 ; 2 ; 3 ; ... ; 9 ; 10}
Si les boules sont réellement choisies de façons qu'aucune boule n'a plus de chance qu'une autre d'être choisie, on peut dire qu'il y a Equiprobabilité des choix d'une boule.
Choisir ne des trois boules numérotées 1 ou 2 ou 3 correspond alors à l'événement A = {1 ; 2 ; 3}
On a donc :

Si on tire maintenant 2 boules de l'urne avec remise, c'est à dire, on tire une première boule, on la replace dans l'urne, puis on tire une seconde boule, éventuellement la même que la première, alors l'Univers est :
                                            W = {1 ; 2 ; 3 ... ; 10}x{1 ; 2 ; 3 ; .... ;10}.
L'événement
            "choisir d'abord une boules portant un numéro 1 ou 2 ou 3 , puis une boule portant un numéro pair"
correspond à A = {1 ; 2 ; 3 }x{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}
Si on fait l'hypothèse que tous les choix de 2 boules sont équiprobables,  comme Card(W) = 10² = 100 et que
Card(A) = 3x5 = 15 , on obtient que P(A) = 0,15 .

Il faut faire attention au fait que l'équiprobabilité n'est qu'un cas particilier de probabilité.
Dans le cas général, s'il n'y a pas équiprobabilité, la connaissance du cardinal de W ne sert pas à grand-chose.
De plus, il ne faut pas confondre l'univers, ensemble des éventualités d'un problème, avec le cardinal de l'univers, qui est le nombre d'éventualités.

Evénements Incompatibles:
A et B sont dits incompatibles si leur intersection est l'ensemble vide. A B = {}
En particulier, si A et B sont incompatibles alors P(A B) = 0 mais la réciproque est fausse dans le cas général.
Par exemple, Si on choisit un entier positif au hasard, de telle sorte que la probabilité de choix est uniformément répartie sur l'ensemble des entiers, et si A et B sont les événements suivants:
A : " l'entier est pair "
B : " l'entier est impair ou un nombre premier",
Alors l'intersection de A et B est {2}. Pourtant, la probabilité de choisir un entier fixé parmi tous les entiers positifs est nulle. A et B ne sont pas incompatibles mais P(A B) = 0

Il ne faut confondre "Incompatibles" avec "Indépendants".
"Incompatibles" signifie que deux événements ne peuvent pas se réaliser ensembles.
"Indépendants" signifie que la probabilité de réalisation de l'un des événements n'est pas changé si l'autre événement est réalisé.