Probabilités Totales

On a vu que par définition d'un espace probabilité (W ; P) , si A et B sont deux événements d'intersection vide alors P(A U B) = P(A) + P(B).
C'est relation qui permet de voir que dans le cas où A est fini, alors P(A) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui compose A.
En particulier, si W est fini alors . La somme des probabilités des événements élémentaires est 1.
On a vu aussi le principe des Probabilités Conditionnelles:
                                      

Considérons alors une partition de W ,
              {A1 ; A2 ; .... ; Ak} .
Pour un événement quelconque B, on alors :
B = (B  A1) U (B  A2) U ... U (B  Ak).
On peut observer la figure à côté.
De la relation précédente, on peut déduire que :
P(B) = P(B  A1) + P(B  A2) + ... + P(B  Ak) 
Comme P(B  A) = PA(B).P(A), on obtient alors:

P(B) = P(B  A1) + P(B  A2) + ............ + P(B  Ak)        peut s'écrire
                            Ou encore, en utilisant la notation P(B / A)
P(B) = P(B / A1)xP(A1) + P(B / A2)xP(A2) +...........+ P(B / Ak)xP(Ak)
Cette relation est connue sous le nom de
                             "Loi Des Probabilités Totales"

   Exemples d'application:

  1. Un lycée compte 3 classes de Terminale. La classe T1 , la classe T2 et la classe T3.
    30% des élèves de terminales sont en T1 , 50% des élèves de terminale sont en T2 et 20% des élèves de terminale sont en T3.
    T1 compte 25% de filles, T2 compte 40% de filles et T3 compte 80% de filles.
    En choississant un élève de terminale au hasard, quelle est la probabilité de choisir une fille?
    Si on appelle T l'ensemble des élèves de terminale et F l'événement "choisir une fille", on remarque que {T1 ; T2 ; T3} forme une partition de T.
    De plus, d'après le texte, on sait que :
    P(T1) = 0,30          ;      P(T2) = 0,50    ;   P(T3) = 0,20  ;
    P(F/T1) = 0,25     ;      P(F/T2) = 0,40   ;   P(F/T3) = 0,80.
    Donc, d'après la Loi Des Probabilités Totales, on a:
              P(F) = P(F/T1).P(T1) + P(F/T2).P(T2) + P(F/T3).P(T3)
                     =   0,25x030  + 0,40x0,50 + 0,80x0,20
                     = 0,435
    La probabilité de choisir une fille parmi les élèves de terminale est donc de 0,435.
    On peut aussi dire qu'il y a 43,5% de filles en terminale dans ce lycée.
     
  2. Deux urnes contiennent des boules blanches et des boules noires.
    La première urne U contient 3 boules blanches et 5 boules noires.
    La seconde urne V contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
    On lance alors un dé non-truqué. Si le numéro obtenu est "6" , on tire alors une boule au hasard de U sinon, on tire une boule au hasard de V.
    a: Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche?
    b: On sait que la boule tirée était blanche.
        Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne V ?
    a: On appelle U , V , B  et N les événements suivants:
    U : " on tire une boule de U " ou encore " le numéro obtenu est 6"
    V : " on tire une boule de V" ou encore " le numéro obtenu n'est pas 6"
    B: " la boule tirée est blanche"
    N: "la boule tirée est noire".
    On remarque que U et V sont deux événements contraires, ainsi que B et N.
    Comme le dé n'est pas truqué, on peut dire que :
                           
    Comme U contient 8 boules au total dont 3 blanches, on peut dire que :
                         
    De même, on a:
                        
    D'après la Loi des Probabilités Totales, on peut alors écrire, comme {U ; V} forme une partition de l'univers:
                     
    b: On veut la probabilité de V sachant B. Or , P(VB) = P(B / V)xP(V) , donc, :