Produit Cartésien

Défintion:
Si E et F sont deux ensembles, on appelle "Produit Cartésien de E par F" l'ensemble noté ExF formé de tous les couples possibles (e ; f ) où e est un élément de E et f un élément de F.
Autrement dit:    ExF = { (e ; f ) /  e E et f F }.
Par exemple, si E = {0 ; 1 ; 2}  et  F = {a ; b } le produit cartésien de E par F est l'ensemble contenant les couples : (0 ; a) , (0 ; b) , (1 ; a) , (1 ; b) , (2 ; a) et (2 ; b).
On a donc ExF = {(0 ; a) , (0 ; b) , (1 ; a) , (1 ; b) , (2 ; a) , (2 ; b)}
Une manière simple de représenter le produit cartésien ExF est de faire un tableau:

 

0

1

2

a

(0;a)

(1;a)

(2;a)

b

(0,b)

(1;b)

(2;b)
On remarque que ExF et FxE ne sont pas les mêmes ensembles ( sauf biensur si E = F).

Dans le cas où l'on effectue le produit cartésien de E par lui même, on note ExE = E².
On dit que E² est l'ensemble des couples d'éléments de E

On peut effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensemble E1 , E2 ,... , En.
C'est l'ensemble E1xE2x...xEn = ensemble des n-uplets (e1 ; e2 ;... ; en) où
e1 E1 , e2 E2 , .... , en En.
Dans le cas où tous les ensembles Ei sont identiques à E, le produit cartésien ExEx...xE se note En.
On dit que En est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.

Cardinal du Produit Cartésien:
Si E et F sont finis alors le produit cartésien ExF est fini. De plus: Card(ExF) = Card(E).Card(F)
De là, on voit que si les ensembles E1 , E2 ,... , En sont finis alors le produit cartésien
E1xE2x...xEn est aussi fini est on a : Card(E1xE2x...xEn) = Card(E1).Card(E2).....Card(En) .
En particulier, Card(En) = [Card(E)]n  si E est un ensemble fini.

Exemples naturels de produits cartésiens:
1: Si R est l'ensemble des nombres réels, R² est alors l'ensemble des couples de réels.
    Dans le plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément
    de R².

2: Même chose dans l'espace muni d'un repère.
    Tout point admet des coordonnées qui sont un éléments de R3.

3: Lorque l'on lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être
    symboliser par l'ensemble E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Le résultat d'un lancer est alors un élément
    de ExE. Le cardinal de ExE est alors 36.  Il y a 36 résultats possibles quand on lance 2 dés
    dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

4: S'il y a 3 classes de Terminale E1 , E2 , E3 , et que l'on veut chosir un élève de chaque classe,
    chaque choix correspond à un élément de E1xE2xE3.
    Le nombre de choix possibles est alors :  Card(E1)Card(E2)Card(E3).