Dans le cas où b = 0 ou a = 1, les suites définies par une relation du type (1) sont simplement des suites géométriques ou arithmétiques. On connait alors les propriétés de telles suites.
A: Prenons un exemple:
(Un)
la suite définie
par les relations:
Le
calcul des premiers termes de cette donne:
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Considérons la solution L de l'équation "
f(x) = x".
On a donc L = 2.
Posons alors (V) la suite définie par: Pour
tout n >
0 , Vn = Un
- 2.
Le calcul des premiers termes de cette suite montre alors :
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Ce sont les premiers termes d'une
suite géométrique de raison q = ½. |
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Vn+1
= Un+1
- 2 Relation
entre les suites (U) et (V) |
La suite est donc bien géométrique de raison
q = ½ .
On en déduit alors que l'expression de (Vn)
en fonction de n est :
Pour
tout n >
, Vn = (V0).qn
, d'où l'expression
de Un en fonction
de n.
Un
= 2 + (V0).qn =
2 - (½)n
De même, on connait la
somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique
de raison q différente de 1.
On peut alors écrire que en
posant Sn = V0 + V1 + ... + Vn
et Tn = U0 + U1 +
... + Un
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On sait que si |q| est < 1 alors une suite géométrique
de raison q converge vers 0,
donc, de la relation (U = V + 2), on en déduit
que la suite (U) converge bien vers 2.
Voir
l'interprétation graphique de cette suite!
B: Etude du cas général:
(U) est une suite qui vérifie la relation " Pour tout n
> 0 , Un+1 = aUn
+ b " où a et b sont deux réels
fixés,
avec a 
1 .
On dit que cette suite est une suite récurrente
d'ordre 1 car le calcul d'un terme dépend directement du terme précédent.
(D)
est la droite d'équation " y = ax + b" et (D)
est la droite d'équation :" y = x".
Comme a
1 , on peut alors que ces
deux droites ont un point d'intersection I don't l'abscisse L est
solution
de l'équation " ax + b = x ":
Un
simple calcul montre alors que :
Posons alors (V) comme étant la suite définie
par :
"Pour
tout n > 0 , Vn = Un -
L"
On démontre que cette suite est géométrique
de raison a.
Effectivement, pour n quelconque > 0
,
On a bien Vn+1 = aVn
donc la suite (V) est géométrique de raison a.
L'expression
de Vn en fonction de n est alors: Vn
= V0.an
et
l'expression de Un en fonction est : Un
= Vn + L = V0.an
+ L
De plus, si Sn = V0 + V1 +
... + Vn et Tn = U0 + U1 + ... + Un
alors, Sn étant la somme des (n+1)
premiers termes
d'une suite géométrique de raison
1 , on a :
Comme on sait que la suite (V) converge vers 0 si et seulement
si sa raison a vérifie:
| a | < 1 , on en déduit
que :
La suite (U) converge vers L si et seulement si | a | < 1.
au autrement dit
