SUITES DEFINIES PAR f(un) = un+1

Généralités
Pour une fonction f définie sur une partie I de IR, et pour une valeur a de I, on peut définir la suite récurrente (u) suivante :

u0 = a
et
Pour tout n entier naturel , si un appartient à I alors un+1 = f(un)

Par exemple:

  1. Prenons la fonction f définie par: f(x) = x2 - x, fonction définie sur IR et a=0,5.
    La suite (u) est alors définie par :
    u0 = 0,5
    et
    Pour tout n appartenant à IN, un+1 = un2 - un
    Le calcul des premiers termes de cette suite donne alors:
    • u1 = u02 - u0 = (0,5)2 - 0,5 = -0.25
    • u2 = u12 - u1 = (-0,25)2 - (-0,25) = 0,3125
    • u3 = u22 - u2 = (0,3125)2 - (0,3125) = -0,21484375
  2. Prenons la fonction définie par : f(x) = 0,5.x + 4 et a = 0.
    La suite (u) est alors définie par:
    u0 = 0
    et
    Pour tout n entier naturel, un+1 = 0,5.un + 4
    Le calcul des premiers termes de cette suite donne alors:
    • u1 = 0,5.u0 + 4 = 0,5.0 + 4 = 4
    • u2 = 0,5.u1 + 4 = 0,5.4 + 4 = 6
    • u3 = 0,5.u2 + 4 = 0,5.6 + 4 = 7
    • u4 = 0,5.u3 + 4 = 0,5.7 + 4 = 7,5

    On peut interpréter graphiquement cet exemple de suite de la façon suivante:

    Considérons dans le plan la courbe d'équation (C) (y = f(x)) et la droite D d'équation (y = x).
    Si on place sur l'axe des abscisses la valeur u0, le point M0 est le point de (C) d'abscisse u0.
    Ce point a donc pour coordonnées (u0 ; f(u0). Comme u1 = f(u0), on a donc M0 de coordonnées (u0 ; u1).
    En utilisant la droite D d'équation (y = x), on place alors la valeur (u1) sur l'axe des abscisses.
    On recommence alors en plaçant le point M1 sur la courbe (C) d'abscisse u1.
    Le point M1 a pour coordonnées (u1 ; u2)
    On utilise la droite D pour placer alors u2 sur l'axe des abscisses.

    On conduit alors cette construction pour placer les valeurs u3 , u4 , .... .

    On peut, en observant la figure ci-dessus, remarquer que la suite des points Mn(un ; un+1) semble s'approcher du point L d'intersection de (C) et de D .
    Ce point correspond à la solution de l'équation (f(x) = x), solution qui est ici : x = 8.
    On peut conjecturer que la suite (u) converge vers l = 8.

  3. Prenons la fonction f définie sur [-1 ; +oo[ par : f(x) = : et a = -0,5.
    La suite (u) est alors définie par les relations:
    u0 = -0,5
    et
    Pour tout n entier naturel, un+1 =

    On peut alors représenter cette suite en traçant la courbe (C) de la fonction et la droite D d'équation (y = x).
    Sur cette figure,
    • les termes de la suite (u) sont placés sur l'axe des abscisses,
    • les points Mn sont de coordonnées (un ; un+1) at appartienneni à (C),
    • les points Nn sont de coordonnées (un+1 ; un+1) et appartiennent à D.

    Graphiquement, on peut conjecturer que cette suite converge vers l'abscisse du point L d'intersection entre (C) et D.
    Ce point correspond à la solution de l'équation (f(x) = x) qui est la valeur:

    l =