Suites Arithmétiques

  • Définition
    On dit que cette suite est une suite arithmétique de raison     r si pour tout n entier, on a:
    un+1 = un + r
    C'est à dire,
    u1 = u0 + r
    u2 = u1 + r
    u3 = u2 + r
    ................................
    un+1= un + r

    Pour une suite arithmétique, on passe d'un terme au terme suivante en ajoutant constamment le même nombre réel.
     Par exemple, la suite définie par
    " un = 2n +     1 " est arithmétique
    de raison r = 2 car pour entier n , on a:
    un+1 = 2(n+1) + 1
            = 2n + 2 + 1
            = (2n + 1) + 2
            = un + 2      .
    C'est donc une suite arithmétique de raison 2
  • Sens de Variation
    La suite (    u) est arithmétique si et seulement si pour tout n entier naturel, on a:
                        un+1 - un = un - un-1 = un-1 - un-2 = .... = u1 - u0

    • Autrement dit, la suite est arithmétique si la différence de deux termes consécutifs est constante.
    La constante égale à la différence de deux termes consécutifs est alors la raison     r de la suite.

    On peut alors remarquer qu'une suite arithmétique est croissante
    si et seulement si sa raison est positive.

    Par exemple, avec la suite précédente, on a:
                  un+1 - un = [2(n+1) + 1] - [2n + 1] = [2n + 2 + 1] - [2n + 1] = 2.

    Cette suite est alors arithmétique de raison r = 2.

     

  • Expression de Un en fonction de n:
    Pour     n et k quelconques entiers natutels, si la suite (u) est arithmétique de raison r alors on a:
    un = uk + (n - k).r
    En particulier, on a: un = u0 + n.r

    RECIPROQUEMENT:

  • Propriété 3
    Si     a et b sont deux nombres réels et si la suite (u) est définie par:
    un = a.n + b
    alors cette suite est la suite arithmétique de raison r = a et de premier terme u0 = b

    Exemples:

    1. La suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme u0 = 2 vérifie que
      pour tout n entier naturel,       un = u0 + n.r = 2 + 3.n
    2. La suite définie par un = -2.n + 5 est la suite arithmétique de raison r = -2 et de premier terme u0 = 5
    3. Existe-t-il une suite arithmétique (u) vérifiant u2 = 10 et u5 = 1?
      Si il existe une telle suite, appelons r sa raison.
      On doit alors avoir u5 = u2 + (5 - 2).r = u2 + 3.r
      r doit donc vérifier: 1 = 10 + 3.r. D'où r = -3.
      La raison de cette suite doit donc être -3.
      De plus, on doit avoir : u0 = u2 - 2.r = 10 + 2.3 = 16
      Le premier terme de cette suite est donc 7.
      On vérifie alors que la suite arithmétique de raison r = -3 et de premier terme u0 = 16 est bien la seule solution.
    L'exemple précédent se généralise sans difficulté.On a alors:

     

  • Comparaison des suites arithmétiques:
    Pour     A et B réels, si n et k sont deux entiers naturels distincts alors il existe une et seule suite arithmétique indicée sur IN telle que un = A et uk = B.
    Cette suite a pour raison
    et pour premier terme

    On peut donc dire que si, pour deux suites arithmétiques (u) et (v) , il existe deux indices n et k tels que

    un = vn et uk = vk
    alors ces deux suites sont identiques.
  • Somme des termes d'une suite arithmétique
    Pour une suite (    u) arithmétique de raison r, notons Sn la somme des (n + 1) premiers termes de cette suite:
    • Sn = u0 + u1 + .... + un =
    Remarquons que cette somme peut s'écrire, en renversant les termes:
    Sn = un + un-1 + ..... + u1 + u0
    On a donc :
    2.Sn = (un + u0 ) + (un-1 + u1 )+ .... + (u1 + un-1) + (u0 + un)
    Or, pour k quelconque, on a :
    un-k + uk = (u0 + (n-k).r) + (u0 + k.r) = u0 + (u0 + n.r) = u0 + un .
    Sn est donc égal à la somme de n+1 termes égaux à (u0 + un).
    D'où : 2.    Sn = (n + 1).(u0 + un)

    D'où le résultat suivant:
    Pour une suite arithmétique, la somme Sn = est égale à

    relation que l'on peut mémoriser sous la forme:

    On utilisant la relation : un = u0 + n.r où est la raison de la suite arithmétique, on obtient alors:

    Exemples:

    1. Un cas particulier à connaitre est le calcul de la somme des n premiers entiers:
      [0 + 1 + 2 + 3 + .... + n] peut être considérée comme la somme des n+1 premiers de la suite arithmétique de raison r = 1 et de premier terme u0 = 0.
      En appliquant le résultat précédent, on obtient:
      1 + 2 + 3 + .... + n =
    2. La somme [S = 3 + 5 + 7 + ... + 23 + 25 + 27] est la somme de 13 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2.
      Le premier terme est       3 et le dernier terme est 27.
      Donc cette somme est: =       195

     

  • Somme de suites arithmétiques:
    Si (u) et (v) sont deux suites arithmétiques de raison respectives r et r ' alors la somme de ces deux suites, c'est à dire la suite (w)définie sur IN par:
    wn = un + vn
    est aussi une suite arithmétique et sa raison r " est:
    r " = r + r '

     Pour le vérifier, il suffit de voir que, par définition, on a doit avoir:
    un+1 = un + r
    vn+1 = vn + r '
    donc, comme wn+1 = un+1 + vn+1,
    wn+1 = (un + vn) + r + r ' = wn + (r + r')

     

  • Limite d'une suite arithmétique:
    Pour une suite (    u) arithmétique de raison r, on a, pour tout n entier narturel,
    un = u0 + n.r
    Donc, on en déduit que:
    • la suite (u) diverge vers +oo si r est >0
    • la suite (u) diverge vers -oo si r est < 0
    • la suite (u) est constante si r = 0