Généralités sur les suites numériques

On appelle suite numérique toute application d'une partie de IN sur IR.
Une suite peut donc être considèrée comme une liste ordonnée de nombres réelles.
La notation habituelle est, si la suite s'appelle (u):

qui se lit : "u indice n" ou "terme d'indice n de la suite u".

Si la suite u a pour ensemble d'indice l'ensemble des entiers naturels IN, on a alors la suite:

On fait attention que la notation (u_n) correspond à l'ensemble des termes de la suite alors que la notation u_n correspond au terme d'indice n de la suite.

Dans la suite, toutes les suites seront indicées sur IN.

SENS DE VARIATION D'UNE SUITE

(u_n) étant une suite numérique, on pose les définition suivantes:

• Définition d'une suite croissante
  On dit que la suite est croissante si pour tout n entier naturel, on a : u_n  < u_n+1
  On a donc, u₀  < u₁ <  u₂ <  u₃ ....
  
• Défintion d'une suite décroissante
  On dit que la suite est décroissante si pour tout entier naturel n, on a : u_n+1 < u_n
  On a donc u_n+1   < u_n  <   u_n-1   <.....<   u₂  <  u₁  <   u₀

• Défintion d'une suite monotone
  On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
  Exemple:
  La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, u_n = 2n" est croissante.
  La suite définie par: "Pour tout n entier naturel, v_n = " est décroissante.
  Ces deux suites sont donc monotones.

  En revanche, la suite définie par: "Pour tout n entier naturel, w_n = | n - 2 |" n'est pas monotone.
  Le calcul des premiers termes de cette suite donne:

  w₀ = | 0 - 2 | = |2| = 2
  w₁ = | 1 - 2 | = |1| = 1
  w₂ = | 2 - 2 | = |0| = 0
  w₃ = | 3 - 2 | = |1| = 1
  Elle n'est ni croissante, ni décroissante.

Majorant-Minorant

• Défintion d'une suite majorée
  On dit que la suite est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n entier naturel, on a: u_n   < M On dit que M est un majorant de la suite.

• Défintion d'une suite minorée
  On dit que la suite est minorée s'il existe un reél m tel que pour tout n entier naturel, on a : m  <  u_n On dit que m est un minorant de la suite.

• Défintion d'une suite bornée
  Si la suite admet un majorant et un minorant, on dit qu'elle est bornée.
  Il existe donc M et m tel que pour tout n entier naturel, on a: m <  u_n < M On remarque que la suite est bornée si et seulement si il existe un réel A tel que pour tout n entier naturel, on a: |u_n| < A
  Exemple:
  La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, u_n = -2n + 3" est majorée par 3 car: " pour tout n entier naturel, u_n  < 3"
  La suite définie par : "Pour tout n entier naturel, v_n = n² " est minorée par 0 car: " pour tout n entier naturel, 0 <  v_n"
  La suite définie par "Pour tout n entier naturel, w_n = est bornée car: " pour tout entier naturel, 0 < w_n < 1 "

• Proprièté 1
  Une suite croissante est minorée.(Car pour tout n , on a: u₀  < u_n).
  
• Proprièté 2
  Une suite décroissante est majorée.(Car pour tout n , on a: u₀  > u_n)

  On fait attention qu'une suite n'est pas nécessairement bornée ou majorée ou minorée.
  Par exemple, la suite définie sur IN par: " u_n = (-1)ⁿ.n " n'est ni bornée, ni majorée, ni minorée.

EXEMPLES D'ETUDES DE SUITES

• Exemple 1
  On définit la suite (u) sur IN par : u_n = n ² - 5n.
  
  • Est-ce une suite arithmétique? géométrique?
    Si on calcule les premiers termes de cette suite, on obtient: u₀ = 0 , u₁ = -4 , u₂ = -6 On constate alors que u₁ - u₀ n'est pas égal à u₂ - u₁.
    Cette suite n'est pas arithmétique!

    Comme u₀ = 0 et u₁ = -4 , cette suite n'est pas géométrique car il n'existe pas q réel tel que u₁ = q.u₁

  • Est-ce une suite monotone?
    Le calcul des termes de cette suite u₀ = 0 , u₁ = -4 , u₂ = -6 , u₃ = -6 , u₄ = -4 , u₅ = 0 , .... montre que cette suite n'est ni croissante , ni décroissante
    Elle n'est donc pas monotone.

     

  • Est-ce une suite bornée?
    On vérifie sans peine que pour tout n entier naturel, on a: -6 <   u_n
    Cette suite est donc minorée et un minorant est -6.

    On vérifie aussi que cette suite n'est pas majorée.
    Ce n'est donc pas une suite bornée.

     

  • Est-ce une suite convergente
    On sait que la fonction (x² - 5x) tend vers +oo si x tend vers +oo.
    Cette suite diverge donc vers +oo.

     

   

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• Exemple 2
  On définit la suite (u) par la relation:

  		n + 1
  Pour tout n entier naturel ,	un=
  		n 2 + 1

  • Est-ce une suite monotone?
    Pour tout n entier naturel, un simple calcul montre que:

    	-3n - n2
    un+1 - un=
    	((n + 1)2+1)(n2 + 1)

    Donc, pour tout entier naturel n , on a u_n+1 < u_n.
    C'est donc une suite décroissante.

     

  • Est-ce une suite bornée
    Etant décroissante, on sait que cette suite est majorée par u₀ = 1.
    De plus, on remarque que pour tout n entier naturel, on a : 0 < u_n
    Elle est donc minorée par 0.
    C'est donc une suite bornée.

     

  • Est-ce une suite convergente?
    On sait qu'elle est décroissante et minorée par 0,
    donc c'est une suite convergente vers une limite L telle que 0 <   L.
    De plus, on peut remarquer que pour tout n > 2, on a:

    	1
    un <
    	n - 1

    On a donc l'encadrement:

    		1
    0 <	un <
    		n - 1

    Comme

    	1
    Lim		= 0
    n->+oo	(n - 1)

    on en déduit, d'après le théorème des "Gendarmes", que la suite (u) converge vers 0.
    

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• Exemple 3
  On définit la suite (u) par les relations: u₀ = 1

  et

  Pour tout n entier naturel, u_n+1 = 0,1.u_n + 2

  
  
  • Calcul des premiers termes de cette suite
    Comme u₀ = 1 , d'après la définition de cette suite, on a:

    u1	=	0,1.u0 + 2	=	2,1
    u2	=	0,1.u1 + 2	=	2,21
    u3	=	0,1.u2 + 2	=	2,221
    u4	=	0,1.u3 + 2	=	2,2221

  • Etude d'une suite auxiliaire
    Posons la suite (W) définie par :

    			20
    Pour tout n entier naturel ,	Wn =	un -
    			9

    On vérifie alors que pour tout n, on a: W_n+1 = 0,1.W_n.
    (W) est donc une suite géométrique de raison (0,1).
    L'expression de W_n en fonction de n est donc: W_n = (0,1)ⁿ.W₀
    D'où l'expression de u_n en fonction de n:

    		20			20
    un=	Wn +-		=	(0,1)n.W0 +
    		9			9

    
    
  • Convergence de (u)
    D'après la relation prcédente, comme (W) est une suite géométrique de raison q = 0,1
    et que |0,1|< 1 , on sait que la suite (W) converge vers 0 donc la suite (u) converge vers (20/9).
    

    		20
    Lim	un =
    n->+oo		9