Exemples d'Etudes de Suites

  • Exemple 1
    On définit la suite (u) sur IN par : un = n 2 - 5n.
    • Est-ce une suite arithmétique? géométrique?
      Si on calcule les premiers termes de cette suite, on obtient:
      u0 = 0 , u1 = -4 , u2 = -6
      On constate alors que   u1 - u0   n'est pas égal à   u2 - u1  .
      Cette suite n'est pas arithmétique!

      Comme u0 = 0 et u1 = -4 , cette suite n'est pas géométrique
      car il n'existe pas q réel tel que u1 = q.u0

    • Est-ce une suite monotone?
      Le calcul des termes de cette suite
      u0 = 0 , u1 = -4 , u2 = -6 , u3 = -6 , u4 = -4 , u5 = 0 , ....
      montre que cette suite n'est ni croissante , ni décroissante
      Elle n'est donc pas monotone.

       

    • Est-ce une suite bornée?
      On vérifie sans peine que pour tout n entier naturel, on a: -6 <   un
      Cette suite est donc minorée et un minorant est -6.

      On vérifie aussi que cette suite n'est pas majorée.
      Ce n'est donc pas une suite bornée.

       

    • Est-ce une suite convergente
      On sait que la fonction (x2 - 5x) tend vers +oo si x tend vers +oo.
      Cette suite diverge donc vers +oo.        
  • Exemple 2
    On définit la suite (u) par la relation:
        n + 1
    Pour tout n entier naturel , un=
        n 2 + 1
    • Est-ce une suite monotone?
      Pour tout n entier naturel, un simple calcul montre que:
        -3n - n2
      un+1 - un=
        ((n + 1)2+1)(n2 + 1)
      Donc, pour tout entier naturel n , on a un+1 < un.
      C'est donc une suite décroissante.
    • Est-ce une suite bornée
      Etant décroissante, on sait que cette suite est majorée par u0 = 1.
      De plus, on remarque que pour tout n entier naturel, on a : 0 < un
      Elle est donc minorée par 0.
      C'est donc une suite bornée. 
    • Est-ce une suite convergente?
      On sait qu'elle est décroissante et minorée par 0,
      donc c'est une suite convergente vers une limite L telle que 0 <   L.
      De plus, on peut remarquer que pour tout n > 2, on a:
        1
      un <
        n - 1
      On a donc l'encadrement:
          1
      0 < un <
          n - 1
      Comme
        1  
      Lim
      		= 0
      n->+oo (n - 1)  
      on en déduit, d'après le théorème des "Gendarmes", que la suite (u) converge vers 0.
  • Exemple 3
    On définit la suite (u) par les relations:
    u0 = 1            et            Pour tout n entier naturel,     un+1 = 0,1.un + 2
    • Calcul des premiers termes de cette suite
      Comme u0 = 1 , d'après la défintion de cette suite, on a:
      u1 = 0,1.u0 + 2 = 2,1
      u2 = 0,1.u1 + 2 = 2,21
      u3 = 0,1.u2 + 2 = 2,221
      u4 = 0,1.u3 + 2 = 2,2221
    • Etude d'une suite auxiliaire
      Posons la suite (W) définie par :
            20
      Pour tout n entier naturel , Wn = un -
            9
      On vérifie alors que pour tout n, on a: Wn+1 = 0,1.Wn.
      (W) est donc une suite géométrique de raison (0,1).
      L'expression de Wn en fonction de n est donc: Wn = (0,1)n.W0
      D'où l'expression de un en fonction de n:
          20     20
      un= Wn +-
      		= (0,1)n.W0 +
          9     9

    • Convergence de (u)
      D'après la relation précédente, comme (W) est une suite géométrique de raison q = 0,1
      et que |0,1|< 1 , on sait que la suite (W) converge vers 0 donc la suite (u) converge vers (20/9).
          20
      Lim un =
      n->+oo   9