Suites Géométriques

  • Définition
    On dit que la suite  (    u) est une suite géométrique de raison q, où q est un nombre réel,
    si pour tout entier naturel n, on a:       un+1 = q.un

    On passe donc d'un terme au terme suivant en multipliant constamment par le réel q.
     

    • u1 = q.u0
    • u2 = q.u1
    • u3 = q.u2
    • .............................
    • un+1 = q.un0

    Par exemple, la suite définie par " un = 2 n " vérifie:        un+1 = 2 n+1 = 2.2 n = 2.un

    C'est donc une suite géométrique
    de raison q =     2.

  •  Propriété 1
    La suite (    u) est géométrique si pour tout n, le rapport est constant.
    Ce rapport constant est alors égale à la raison     q de la suite géométrique.

    • Par exemple, si pour tout n , on a : un = 32n, alors pour tout n entier naturel, on a:

    Le rapport est constant et égal à 9. C'est donc une suite géométrique de raison 9.
  •  Expression de Un en fonction de n :
    Propriété 2
    Si (    u) est une suite géométrique de raison q, alors pour tout n et tout k entiers naturels,
    on a:                         un = q(n - k).uk

    • En partuculier, on a: un = qn.u0.

    RECIPROQUEMENT

     

  • Propriété 3
    Pour     a et b réels, la suite (u) définie par: Pour tout n entier naturel , un = a.b n

    est la suite géométrique de raison  q = b et de premier terme u0 = a.

    Exemples:

    1. La suite géométrque de raison r = -2 et de premier terme u0 = 3 vérifie que
      pour tout n entier naturel, u      n = 3.(-2)n.
    2. La suite définie par "Pour tout n entier naturel, un = ( )n + 2" est de la forme:
      un = ()n + 2 = ()n.()2 = 2.()n
      C'est donc la suite géométrique de raison  q = et de premier terme u0 = 2.

     

  • Somme des termes :
    Propriété 4
    Si q est un nombre réel et si     n est un entier naturel alors:
    • 1 + q + q2 + .... + qn =           si q est différent de 1
    • 1 + q + q2 + .... +qn = (n + 1)                             si q = 1.
    On peut le démontrer en remarquant que:
    (1 + q + q² + .... + qn).(1 - q)  =   (1 + q + q2 + q3 + .... +qn-1 + qn) - (q + q2 + q3 + q4 + ..... +qn + qn+1)
                                             =   (1 - qn+1)

    On a alors:

  • Propriété 5 Expression de la Somme des termes d'une Suite Géométrique

    Si la suite (u) est géométrique de raison q différente de 1,
    alors la somme des (n+1) termes de cette suite : Sn = : est

    Sn = u0

    EXEMPLES:

    1. Si (u) est la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,2
      alors la somme u0 + u1 + u2 + .... + u10 est égale à:
          1 - (0,2)11    
      S = 2
      		   
          1 - 0,2    
      D'où S = 2,4999999488.

       

    2. La somme S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + 256 - 512 + 1024 est la somme des 11 termes consécutifs de la suite géométrique de raison (-2) et de premier terme 1.
      On aussi appliquer directement la relaion donnée dans la propriété 4 pour q = (-2).
      Dans les deux cas, on obtient:

       

        1 - (-2)11   2049    
      S =
      		=
      		= 683
        1 - (-2)   3    

     

  • Propriété 6 Limite d'une Suite Géométrique
    Si q est un nombre réel, alors on a:

     

    |q| est < 1 si et seulement si =0
    Donc ,
    si (u) est une suite géométrique de raison q, comme pour tout n entier naturel, on a:
    un = qn.u0
    on a:

     

    La suite (u) converge vers 0 si et seulement si |q| est < 1

    De plus, comme la somme des (n+1) premiers termes de cette suite est, pour q 1,

    Sn = u0.  on a aussi:

    La somme Sn converge vers si et seulement si |q| < 1
    C'est à dire:
    = si et seulement si |q| < 1