- Définition de la limite
On dit que la suite (u) converge vers L ou admet L pour limite si:Pour tout e > 0 , il existe un entier N tel que si n > N alors |un - L | < e Ceci signifie que la valeur L sera approchée d'aussi près que l'on veut par la suite (u) à partir du moment où n est choisi assez grand.
On écrit alors:
On dit que la suite est convergente.
Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.
Le cas d'une suite ayant pour limite +oo ou -oo est dit "suite divergente vers +oo" ou "suite divergente vers -oo"Les régles opératoires (somme , produit , quotient , ...) sont les mêmes que pour les limites de fonctions.
- Propriété 1
Si la suite (u) est croissante et admet un majorant M alors cette suite est convergente et sa limite L est inférieure ou égale à M.
Attention, on a L < M et non-nécessairement L = M.
Par exemple, la suite définie par " un = 1 -.gif)
" est croissante et majorée par 2,
mais sa limite est L = 1. - Propriété 2
Si la suite (u) est décroissante et admet un minorant m alors cette suite est convergente et sa limite L est supérieure ou égale à m.
- Propriété 3
Toute suite monotone et bornée est convergente.
De plus, si on a: m < un < M, pour tout n entier naturel, alors
sa limite L vérifie m < L < M. - Propriété 4 Théorème dit "des gendarmes"
Soient trois suites numériques (u) , (v) et (w) telles qu'il existe un entier N tel que, pour tout entier naturel n > N:vn < un < wn Si les suites (v) et (w) convergent vers L alors la suite (u) converge aussi vers L.
Par exemple, posons un =
.
On sait que la fonction sinus est comprise entre -1 et 1.
Donc, pour tout n entier naturel, on a:
