Exercice 1 France-Métropolitaine-Juin99

Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct (O; u , v).
On prend 4 cm comme unité sur les deux axes.

On considère l'application F du plan dans lui même qui, à tout point m , d'affixe z, associe le point M
d'affixe . L'objet de cet exercice est de tracer la courbe (G) décrite par M lorsque m décrit le cercle (C) de centre O et de rayon 1.  
Soit t un réel de I = [ -p ; p ] et m le point de (C) d'affixe  z = e^it .
1: Montrer que l'image M de m par F est le point de coordonnées:
                ( ; ) , t appartenant à I
   Ces relations constituent une représentation paramètrique de (G).
2: Comparer x(t) et x(-t) d'une part, y(t) et y(-t) d'autre part.
    En déduire que (G) admet un axe de symétrie que l'on précisera.
3: Montrer que x'(t) = (cos(t) - 1 )( 1 + 2cos(t) ). Etudier les variations de x sur J = [0 ; p ].
4: Montrer que y'(t) = (cos(t) -1)(1 + 2cos(t) ) . Etudier les variations de y sur J.
5: Dans un même tableau faire figurer les variations de x et de y sur J .
6: Placer les points de (G) correspondant aux valeurs 0 , , et p du paramètre t et tracer
    les tangentes en ces points (on admettra que pour t = 0 la tangente à (G) est horizontale).
    Tracer la partie de (G) obtenue lorsque t décrit J puis tracer (G) complètement.
Correction

Exercice 2 Asie-Juin98
Le plan est rapporté à un répère orthonormal direct (O; u , v) ayant comme unité graphique 1cm.
1: Soit (C) la courbe dont une représentation paramétrique est:

           x = f( t ) =      ;        y = g( t ) = , t parcourant l'ensemble IR des réels.
  a: Montrer que (C) est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

  b: Etudier conjointement les variations de f et de g sur l'ensemble des réels positifs.

  c: Préciser la tangente au point de paramètre t = 0.

  d: Tracer la courbe (C).

2: Soit (P) la parabole d'équation y² = 4x.

  a: Tracer (P) dans le même repère que (C) .

  b: Vérifier qu'une représentation paramètrique de (P) est : ( x(t) = t² ; y(t) = 2t) , t parcourant IR.

  c: Soit D(t) la tangente à (P) au point M(t) de coordonnées ( x(t) ; y(t) ).
     Soit T(t) la droite perpendiculaire à D(t) au point M(t).
     Montrer qu'une équation cartésienne de T(t) est : y = -tx + t³ + 2t .

d: Pour t réel non nul, T(t) coupe l'axe des abscisses en un point A(t) et l'axe des ordonnées en un point
    B(t). On appelle I(t) le milieu du segment formé par ces deux points.

    Exprimer en fonction de t les coordonnées de I(t).

    Quel est l'ensemble des points I(t) lorsque t parcourt l'ensemble des réels non nuls?
Correction

Exercice 3 Nouvelle-Calédonie-1996
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ), (G) est l'ensemble des points M(t) de coordonnées (x(t) , y(t)) telles que:     x(t) = et y(t) = 3tan(t)
quand t décrit l'intervalle I = ] ; [.

1:
   a: Comment M(-t) se déduit-il de M(t)? En déduire que (G) admet un axe de symétrie.

   b: Etudier les variations des fonctions x et y sur l'intervalle J = [ 0 ; [.
2:
 a: Démontrer que (G) est contenue dans l'hyperbole (H) d'équation: .
   b: Préciser les asymptotes à (H), on les notera D et D'; les placer sur la figure.

   c: Construire (G).

3: Soit M(to) un point de (G). La tangente à (G) en M(to) coupe D et D' en Ao et Bo.

   a: Démontrer que la tangente à (G) en M(to) a pour équation : 3x - 2sin(to)y - 6cos(to) = 0.
   b: Donner les coordonnées de Ao et de Bo en fonction de to.
   c: Vérifier que M(to) est le milieu de [Ao , Bo].
Correction