Correction

1: Comme z = (cos( t ) + isin( t ) , l'affixe de M est Z =
d'où,          Z =

La partie réelle de Z est et comme cos(t)² - sin(t)² = cos(2t),
on a bien x(t) = .

La partie imaginaire de Z est et comme 2cos(t)sin(t) = sin(2t) ,
on a bien y(t) = .

2: On a x(t) = x(-t) et y(t) = -y(-t). x est paire et y est impaire,
la courbe (G) admet l'axe des abscisses comme axe de symétrie.

3: x'(t) = -sin(2t) + sin(t) = -2sin(t)cos(t) + sin(t) = sin(t)(1 - 2cos(t)).
Comme sin(t) est positif sur [0 ; ] , et que cos(t) est inférieur à (0,5) pour

t appartenant à [ 0; ], on en déduit que x est décroisssante sur [0 ; ] et
croissante sur [0 ; ] .

4: y'(t) = cos(2t) - cos(t) = 2cos²(t) - 1 - cos(t) = (cos(t) - 1)(1 + 2cos(t) ).
Comme (cos(t)-1) est négatif , et (1+2cos(t)) est positif pour
t appartenant à [0 ; ] , on en déduit que y est décroissante sur [0 ; ]
puis croissante sur [ ; ].

5: A faire en tenant compte des questions précédentes.

6: La courbe (G) avec les tangentes demandées est alors:

La courbe obtenue est ce que l'on appelle une CARDIOÏDE.

L'animation ci-dessous montre le déplacement de la tangente sur cette courbe.