Courbe Parmétrée Exercices Série2

Courbes Paramétrées

Exercice 4:
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ;

).
Soit (C) la courbe définien paramétriquement dans le plan par:

	1- t²			t - t³
x(t) =		et	y(t) =
	1 + t²			1 + t ²

On note M(t) le point de coordonnées( x(t) ; y(t) ).

1: Etudier la parité des fonctions x(t) et y(t). Que peut-on en déduire pour (C)?

2: Soit (C') la partie de la courbe (C) correspondant à t positif.
a: Etudier les fonctions x(t) et y(t) sur ]0 ; +oo[.
b: Déterminer les limites de x(t) et de y(t) en +oo.
Que peut-on en déduire pour (C')?
c: Démontrer que (C') posède en M(0) une tangente dont on donnera une équation.
d: Donner une équation de la tangente à (C') au point M(1).
e: Pour t₀ différent de 0, montrer que les tangentes à (C) aux points M(t₀) et M(-t₀) ont un point commun I(t₀) ou sont strictement parallèles. Montrer que, dans le premier cas, I(t₀) appartient à l'axe des abscisses.

3: Tracer (C) en précisant les tangentes en M(0) et M(1)
Correction

Exercice 5:
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ;

).
Soit (C) la courbe dont une repréentation paramétrique est:

x(t) = 3t²
y(t) = 2t³

On note M(t) le point de (C) de paramètre t.
On note V(t) le vecteur dérivé en M(t). V(t) est donc le vecteur de coordonnées (x'(t) ; y'(t)).
1: Montrer que (C) possède un axe de symétrie.

2: Pour t#0, donner une équation de la tangente à (C) au point M(t).

Montrer que V(0) est nul.
Montrer que la droite (OM(t)) a pour vecteur directeur le vecteur ( + t)
Déterminer alors la tangente à (C) au point M(0).

4: Soit Mo(Xo ; Yo) un point du plan d'ordonnée Yo non nul.

Montrer qu'une tangente à la courbe (C) en M(t) passe par Mo si et seulement si :

t³ - Xo.t + Yo = 0

Montrer que deux tangentes en M(t₁) et M(₂) sont orthogonales si et seulement si on a:

t₁.t₂ = -1

Montrer alors que l'ensemble des points Mo par où passent deux tangentes à (C) orthogonales est la parabole d'équation:

y² = x - 1 privée du point A(1 ; 0).

5: Tracer la courbe (C) et cette parabole sur la même figure.