Correction

1:
a: Les fonctions x(t) et y(t) sont bien définies sur l'intervalle I.
De plus, on remarque que [x(t) = x(-t)] et [y(t) = -y(-t)].
La fonction x(t) est donc paire et la fonction y(t) est impaire.
Le point M(-t) se déduit de M(t) par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses.
La courbe (G) est donc symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

b: x(t) est croissante sur l'intervalle J . On peut le constater en calculant sa dérivée
ou plus simplement en remarquant que (cos(t)) est décroissante sur J et que (2/x) est
décroissante sur ]0 ; + oo [ et que (x(t)) est la composée de ces fonctions.

y(t) est croissante sur J. On peut le constater en remarquant que y'(t) = 3(1+tan²(t)).

2:
a: Pour t quelconque dans I, on a:

Or , , car cos²(t) + sin²(t) = 1.

D'où :

(G) est bien contenue dans l'hyperbole (H).

b: Comme , on en déduit que (H) admet pour asymptotes les droites D et D'

d'équation respectives (y = (3/2)x) et ( y = -(3/2)x).

c:

Courbe (G) avec les droite D et D '

3:
a: La tangente T(to) à (G) au point M(to) est la droite passant par M(to) et de vecteur directeur
U de coordonnées (x'(to) ; y'(to)).
Comme x'(t) = et y'(t) = 3(1+tan²(t)), on en déduit qu'une équation de la tangente T(to) est:

(x-x(to)).y'(to) - (y-y(o)).x'(to) = 0

Expression qui se simplifie sans difficultés en :        3x - 2sin(to)y - 6cos(to) = 0

b: A(to) est le point d'intersection de D et T(to). Donc ses coordonnées vérifient le système:
                                      { 3x - 2sin(to)y - 6cos(to) = 0 ; y = (3/2) x}

Ce qui donne:
                          

De même, B(to) est le point d'intersection de D' et T(to). Donc ses coordonnées vérifient le système:
                                          { 3x - 2sin(to)y - 6cos(to) = 0 ; y = -(3/2) x}

Ce qui donne:
                         

c: On remarque que
                                        = 2x(to)

et que
                                        = 2y(to)

Ceci permet de conclure que M(to) est bien le milieu du segment [Ao , Bo].

L'animation ci-dessous montre le déplacement des point Ao et Bo sur les droites D et D'.
Le milieu du segment [Ao , Bo] se déplace bien sur (G).