10 Exercices Equations différentielles premier ordre

Exercice 1
Soit m la fonction définie sur [0 ; +oo [ t ->m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau + sel) à l'instant t, t en minutes.
Nous admettons que la fonction m vérifie :
m(0) = 300 et m est une solution sur [0 ; +oo [ de l'équation différentielle (E)  5y' + y = 0.
1.a. Résoudre l'équation différentielle (E) (y fonction de t).
1.b. Montrer que pour tout t de [0 ; +oo [ on a : m(t) = 300e^-0,2t
2. Déterminer le réel t₀ tel que m(t₀) = 150.
3. Nous admettrons qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t) < 10^-2.
   A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel ?

Exercice 2
On chauffe dans une grosse cuve un liquide et on appelle g(t) sa température en degrés Celsius à l'instant t exprimé en secondes, g étant une fonction numérique définie sur [0 ; +oo[.
On admet que la fonction f définie sur [0 ; +oo [ par :  f(t) = g(t) - 100
est la solution de l'équation différentielle (E) :   y' - 2x10^{- 4}y = 0 vérifiant f(0) = - 80.

1. a. Résoudre l'équation différentielle (E).
1. b. Exprimer f(t) en fonction de t.
2. Montrer que :   g(t) = 100 - 80e^-2x10-4t.
3. a. Calculer g(0), la température du liquide à l'instant t = 0.
3. b. Au bout de combien de temps la température atteint-elle 85 °C ?
       Donner la réponse en heures minutes et secondes.

Exercice 3
1. a. Résoudre l'équation différentielle :(E) 4y' + 3y = 0.
1. b. Déterminer la fonction f, solution de (E) telle que f '(0) = - 6.
2. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie sur l'intervalle I = [0 ; 4] par
                                                   g(x) = 8e^-0,75x.
2. a. Etudier les variations de g sur I et tracer sa courbe représentative C dans le plan
         rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm).
2. b. Soit A le domaine plan compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites
        d'équation x= 0 et x= 4.
        Calculer le volume V du solide engendré par la rotation du domaine A autour de l'axe
         des abscisses (x'x).
        (On rappelle que, dans ce cas, le volume V est donné par: ).
         On donnera la valeur exacte de V en cm3 puis sa valeur approchée arrondie au mm³.

Exercice 4
Un condensateur de capacité C est chargé sous une tension initiale de 20 volts.
Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance R.
La tension aux bornes du condensateur est une fonction V (du temps) définie sur [0 ; +oo [.
Cette fonction V est solution, sur [0 ; +oo [ de l'équation différentielle
                                 .
1. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
2. On rappelle que V(0) = 20. Déterminer la fonction V.
Dans la suite R = 1000 W et C = 10^-4 F.
3.a. Montrer que, pour tout t appartenant à [0 ; +oo [, V(t)=20e^-10t .
3.b. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles on a : V(t) > 0,02.
4. L'intensité traversant le circuit est une fonction i (du temps) définie sur [0 ; +oo [ par :
                                                      i(t) = CV'(t).
4.a. Déterminer i(t).
4.b. L'énergie W (exprimée en joules) dissipée dans le résistor, entre les instants t = 0 et t = 0,69,
       est égale à .
                                                      
        Calculer W. En donner l'approximation décimale à 0,01 près par excès.

Exercice 5
On considère les deux équations différentielles :  (1) :  y' = 2y et   (2) : y' = y .
1. Résoudre chacune de ces équations différentielles, sur l'ensemble R des nombres réels.
2. Le graphique ci-contre (qu'il est inutile de reproduire) représente une partie de
    la courbe représentative C d'une fonction f et d'une de ses tangentes T, dans un repère orthonormal.
    Cette fonction f est définie sur R par :   f(x) = f₁(x) - f₂(x),
    où f₁ est une solution de l'équation (1) et f₂ une solution de l'équation (2).

2.a. A partir des données lues sur le graphique, donner f(0), puis montrer que la droite T a
        pour équation y = 3x + 1. En déduire f '(0).
2.b. A l'aide des valeurs de f(0) et de f '(0) trouvées à la question précédente, déterminer les
        fonctions f₁ et f₂. En déduire que, pour tout nombre réel x : f(x) = 2e ^2x - e ^x.
2.c. Déterminer la limite de f en - oo puis, en mettant e^x en facteur dans l'expression
       de f(x), déterminer la limite de f en +oo.
2.d. Calculer la valeur exacte de l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.

Exercice 6
1. Soit (E1) l'équation différentielle 3y' + 4y = 0.
1.a. Résoudre cette équation différentielle.
1.b. Déterminer la solution particulière f de l'équation (E1) qui vérifie f(0) = 8.

2. Soit (E2) l'équation différentielle y" + 36y = 0.
2.a. Résoudre cette équation différentielle.
2.b. Déterminer la solution particulière g de l'équation (E2) telle que.
2.c. Montrer que la solution particulière trouvée au 2.b. peut s'écrire g(x) = acos(6x + b) où a et b sont des réels que l'on déterminera.

Exercice 7
Aucune connaissance de physique n'est nécessaire pour résoudre cet exercice.
Un condensateur de capacité C (C = 5.10^{– 5} farads) se décharge dans une résistance sans self R (R = 10⁴ ohms).
La différence de potentiel u (exprimée en volts), l'intensité i (exprimée en ampères) et la quantité de charges q (exprimée en coulombs) sont des fonctions du temps t (exprimé en secondes).
                                         
1. Sachant qu'à tout instant t on a : u(t) + Ri(t) = 0, q(t) = Cu(t), i(t) = q'(t),
   établir que u vérifie l'équation différentielle : u' + 2u = 0.

2. Résoudre l'équation différentielle : u' + 2u = 0.
   Trouver la solution particulière qui vérifie : u(0) = 30

3. Déterminer l'instant t₁ pour lequel la différence de potentiel u est égale au quart de sa valeur initiale u(0).

4. Calculer l'énergie W (exprimée en joules) dissipée entre les instants t = 0 et t = t₁
    (t₁ déterminé au 3.) sachant que  :
    Donner la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10^{– 2} près.

Exercice 8
1. Donner toutes les solutions de l'équation différentielle : y' + y = 0
2. Trouver la solution particulière f de cette équation vérifiant f(0)= 3
3. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.

Exercice 9
1. Résoudre l'équation différentielle : y ' - 0,5y = 0.
    Déterminer la solution qui prend la valeur e^-1 pour x = 1.
2. Soit la fonction f définie par f(x) = e^{0,5x - 1,5}
   Calculer à l'aide d'une intégration par partie :  

Exercice 10
Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t.
La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction.
On a contasté que :    y' (t) = k y(t),
où k est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t = 0.
1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y' = k y   telle que  y(0)=N.
2. Sachant qu'au bout de deux heures, le nombre de microbes a quadruplé,
    calculer, en fonction de N, le nombre de microbes au bout de trois heures.
3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 6.400 microbes au bout de cinq heures ?