Retour à l'exercice 1:       
Correction Exercice 1: liste Etude Fonction I
a: La dérivée de f  est :
Donc, f '(x) est < 0 si et seulement si x > 1 d'où le tableau de signes de la dérivée et le tableau de variations de la fonction f .
De plus, on sait que:

 

b: Détermination des valeurs a , b, c et d.
A est le point d'intersection de (C) et (xx') d'où :  f(a) = 0  donc  a = e^-1  .
B a une tangente passant par l'origine du repère: Equation de cette tangente :  (Tb) : y = f '(b)(x-b) + f(b)
On a donc: (Tb) : y = f '(b)x  d'où  f '(b)b = f (b) et donc b = e^-0,5 .
C a une tangente parallèle à l'axe (xx'). On a donc c = 1 .
D a une abscisse qui annule la dérivée seconde de f .
Cette dérivée seconde est :      donc d = e^0,5 .
On remarque alors que :
On a bien une suite géométrique.

Retour à l'exercice 2: 
Correction Exercice 2: liste Etude Fonction I
a: Pour tout x réel, x² + 1 est > 0, donc ln(x² + 1) est bien défini sur IR donc f  est définie sur IR.
De plus, pour tout x réel, on a : f (x) = -f (-x) donc f  est impaire.

b: Sur l'intervalle [0;+oo[,  f est strictement croissante car f '(x) = ln(x² +1) + 2x²/(x²+1).
De plus, f tend vers +oo si x tend vers +oo.

c: Si la courbe de f admet une asymptote en +oo alorsi il existe un réel a tel que:
    
(C) n'admet donc aucune asymptote en +oo. Ni en -oo à cause de la symétrie de (C) par rapport à l'origine du repère résultant de la parité de f .

d:  L'équation " f (x) = x " s'écrit  " xln(x² + 1) = x ".
On a donc  "x = 0  ou  ln(x² + 1) = 1"  d'où 3 solutions :
 

e:  f est strictement croissante et continue sur IR.

g  est donc bien définie sur IR.

f:  f (0) = 0  donc g(0) = 0.
On sait que

g: f  et  g  sont réciproques l'une de l'autre. Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation "y=x".
 

Retour à l'Exercice 3
Correction Exercice 3: liste Etude Fonction I

a: On sait, d'après un résultat de cours classique, que :

b: .
Ici, on vérifie sans problème que cette limite est 0. Donc f  dérivable en 0 et f '(0) = 0.

c: La dérivée de f , sur ]0 ; +oo[ est :
.
On en déduit que pour x > 0 , f '(x) est du signe de [2 ln(x) + 1] .
D'où : f '(x) >  0 si x > e^-1/2  et  f '(x) < 0 si 0 < x <  e^-1/2 .
De plus f '(x) = 0  pour x = 0  ou  x = e^-1/2  .

Retour à l'Exercice 4
Correction Exercice 4: liste Etude Fonction I

a:  f  est bien sur définie sur IR, car pour tout x réel, e^2x + e^x  + 1 > 0.
De plus, la fonction (e^x + e^2x  + 1) est strictement croissante sur IR, et ln est strictement croissante sur ]0;+oo[.
f  est donc strictement croissante comme composée de fonctions strictement croissante.
On peut aussi calculer la dérivée de f , et remarquer que celle-ci est > 0 sur IR.

b: On sait que
La droite des abscisses est bien asymptote en -oo.

c: On a : "pour tout x réel ,  2x = ln ( e^2x )" .
Donc : f (x )  = ln( e^2x + e^x  + 1)
                    = ln[ e^2x(1 + e^-x + e^-2x)]
                    = ln( e^2x) + ln( 1 + e^-x + e^-2x )
                    = 2x + ln(1 + e^-x + e^-2x )

f (x) est donc de la forme : [2x + h(x)] avec h(x) tendant vers 0 en +oo, la droite (D) d'équation " y = 2x" est bien asymptote à (C) en +oo.
De plus , pour tout x réel ,  1 + e^-x + e^-2x > 1  car  e^-x + e^-2x > 0 , donc ln(1 + e^-x + e^-2x ) est > 0
La droite (D) est donc en dessous de (C)..