Etudes de Fonctions: Logarithmes

  1. Soit  f   la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par : .
    a: Etudier les variations de f  sur ]0  ; +oo[ , étudiez ses limites en 0 et en +oo, puis
        construire sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé.
    b: Soit A, B , C et D les points suivants de (C) :
     - A est d'abscisse a et est le point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.
     - B est d'abscisse b et est le point où la tangente à (C) passe par l'origine du repère.
     - C est d'abscisse c et est le point où la tangente à (C) est parallèle à l'axe des abscisses.
     - D est d'abscisse d et est le point où la dérivée seconde de f s'annule.
    Montrez que a , b, c, d  forment une suite géométrique.
    Correction 
     
  2. Soit f    la fonction de IR vers R définie par   .
    On appelle (C) la courbe représentative de f  dans le plan muni d'un repère orthonormé .
    a: Justifiez que f  est bien définie sur IR  et étudiez la parité de f .
    b: Etudiez les variations de f  sur [0 ; +oo[ , puis déterminez la limite de f  en +oo.
    c: Montrez que (C) n'admet aucune asymptote droite.
    d: Résolvez l'équation " f (x) = x "
    Pour x réel, on pose g(x) = a  , où a est le réel tel que f(a) = x .
    e: Justifiez que l'application g  est bien définie pour tout x réel.
    f: Déterminez  g( 0 ) et   où e  désigne la base du logarithme népérien (ln e = 1).
    g: Représentez les courbes de f  et de g  sur une même figure .
    Correction

  3. Pour x >  0 , on définit la fonction f  par  :  Si x > 0 alors f(x) = x2ln(x),  et  f (0) = 0
    a: Justifiez que f  est continue en 0.
    b: Etudiez la dérivabilité de f  en 0.
    c: Etudiez les variations de f  sur [0 ; +oo[, puis tracez l'allure de la courbe de f  dans un repère orthonormé sur l'intervalle [0;2].
    Correction

  4. Pour x réel, on pose : f (x) = ln(e2x + ex  + 1) . (C) est la courbe de f  dans le plan muni d'un repère orthonormé.
    a: Justifiez le fait que f  est croissante sur IR .
    b: Montrez que la droite des abscisses est asymptote à (C) en -oo.
    c: En remarquant que pour tout x réel ,  2x = ln ( e2x ) , montrez que (C) admet une asymptote droite  (D) en +oo.
        Etudiez la position de (C) par rapport à (D).
    Correction

  5. On pose f (x) = ln(cos(x) + 1) , pour x dans l'intervalle ]- ; [.
    a: Etudiez la fonction  f . Parité , Variations , Limites.
    b: Résolvez dans ]- ; [ l'équation  " f (x) = 0".


 

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