Rappel de Cours Partie 1:
On considère le plan (P) euclidien orienté. Une isométrie
f sur (P) est une application de (P) dans (P) vérifiant:
"Pour
tout couple (A;B) de points de (P), AB = f(A)f(B)"
Une isométrie,
comme son nom l'indique, est donc une application conservant les distances.
I : Petits Rappels de Base
f étant
une isométrie de (P), on a alors les propriétés suivantes.
On note Id l'identité sur (P) : I(M) = M pour tout M
dans (P)
Propriété I:1:
Si f admet 3 points fixes non alignés, alors f est l'
identité
de (P) : f = Id .
Ou encore:
S' il existe 3 points A,B et C non alignés tels
que f(A) = A, f(B) = B et f(C) = C alors pour tout point M de (P), f(M) = M.
Propriété I:2:
Si
f admet 2 points A et B fixes distincts alors pour tout point M de la droite
(AB), f(M) = M .
Propriété I:3:
Si
f admet exactement un point fixe A, alors f est une rotation de centre A.
Propriété I:4:
Si
f et g sont deux isométries de (P), alors l'application composée
h = fog est aussi une isométrie de (P).
De plus, f est une bijection
de (P) sur (P) et l'application réciproque de f, f -1 , est
aussi une isométrie de (P).
Proprieté I:5:
Si
f est isométrie de (P) alors:
a: L'image d'une droite par f est une
droite. (conservation de l'alignement)
b: L'image de 2 droites parallèles
par f sont 2 droites parallèles. (conservation du parallèlisme)
c:
L'image de 2 droites perpendiculaires par f sont 2 droites perpendiculaires.
(conservation de l'orthogonalité )
d: L'image d'un cercle de centre
O et de rayon R par f est un cercle de centre f(O) et de rayon R. (conservation
de la cocyclité et du rayon) .
e: Si 
alors 
(conservation de l'équipollence)
f: Si G est le barycentre
du système {(A,a) ; B(b)} alors f(G) est le barycentre du système
{(f(A),a) ; f(B),b)} (conservation des barycentres).
g: Si A, O et B sont
3 points distincts de (P) alors les angles non orientés (AOB) et (f(A)f(O)f(B))
sont égaux.
f: Si (Q) est une partie de (P) alors (Q) et l'image de
(Q) par f ont même aire. (conservation des aires).
Par la suite , on note I(P) l'ensemble des isométries de (P).
II : Décompostion des Isométries:
f
est une isométrie de (P) et O un point quelconque de (P). Posons
O' = f(O) et t' la translation telle que t'(O' ) = O.
L'application g
définie qur (P) par : g = tof , est une isométrie
de (P). De plus, g(O) = t'of(O) = t'(O') = O.
g est donc une isométrie
de (P) admettant O comme point fixe (ou laissant O invariant).
Comme g =
t'of , on a : tog = f où t est la translation vérifiant
t(O) = O'.
On peut donc décomposer f sous la forme f = tog ,
où t est une translation et g une isométrie laissant O invariant.
Réciproquement:
Si tog = uoh où t et u sont 2 translations
et g et h 2 isométries laissant O invariant, alors (u-1 o t ) = (h o
g-1).
Mais (u-1 o t) est un translation (composée de 2 translations)
laissant O invariant (car h o g-1 (0) = 0) , donc cette translation est l'application
identiré sur (P).
Donc t = u et g = h.
D'où:
Propriété II:1:
Si
f est une isométrie de (P) et O un point de (P) alors il existe une translation
unique t et une isométrie unique g laissant O invariant
telles que.
f = tog.
III : Déplacements - Antidéplacements
Une
isométrie de (P) f laissant un point O invariant est une rotation ou
une réflexion.
Soient A, B et C trois points non alignés de
(P). A'=f(A) , B'=f(B) et C'=f(C) sont aussi trois points non alignés.
Dans
le cas où f est une rotation, alors les angles orientés 
et 
admettent une même mesure.
Dans le cas où f est une réflexion, les angles et admettent des mesures opposées.
De plus, les translations conservent les angles orientés.
On en
déduit alors que pour une isométrie f quelconque, si O un point
fixé dans (P), en écrivant f = tog où t est une translation
et g une isométrie laissant O invariant, le fait que f conserve ou non
les angles orientés ne dépend que de la nature de g.
Ceci conduit aux défintion suivantes:
Défintion :
Si f est une isométrie
de (P), on a dit que f est un DEPLACEMENT de (P) si f conserve les angles orientés.
On
dit que f est un ANTIDEPLACEMENT si les angles orientés sont changés
en leur opposé.
Propriété III:1:
Toute
isométrie de (P) est soit un déplacement, soit un antidéplacement.
Exemple 1:
Le plan (P) orienté est un muni d'un repère orthonormé
direct.
f est l'application qui, au point M(x , y) associe le point M'(x'
, y') avec x'= - y + 1 et y' = x + 2.
i: f est une isométrie.
Pour le voir , il suffit de prendre 2 points A(a,b) et B(c,d).
f(A)
( -b + 1 , a + 2) , f(B)( -d +1 , c + 2) et de
vérifier directement que AB = f(A)f(B).
ii: Pour savoir si f
est un déplacement ou un antidéplacement, il suffit de savoir
si f conserve un angle orienté.
On peut
donc prendre une exemple. Pour O(0,0) , A(1,0) et B(0,1) , on a :
O'
= f(O) avec O' ( 1,-2) , A' = f(A) avec A'(1,-1)
et B'=f(B) avec B'(0,-2).
On remarque
que 
et 
. f conserve donc l'orientation , c'est un déplacement.
iii:
f n'admet aucun point invariant car le système {x = -y+1 ; y = x+2} n'admet
aucun couple (x;y) comme solution.
Le point O'(1
, -2) étant l'image de O par f, posons t comme la translation vérifiant
t(O) = O'.
L'isométrie f se décompose
alors en f = tog où g est un déplacement laissant O invariant.
C'est donc une rotation de centre O.
On vérifie
sans peine que g est la rotation de centre O et d'angle 
Exemple 2:
f est l'application qui, au point M(x , y) associe le point
M'(x' , y') avec x' = y - 1 et y' = x + 1.
i: On
vérifie directement que f est bien une isométrie.
ii: Si
on pose t comme étant la translation de vecteur U(-1 ; 1) , on remarque
que f = tog où g est l'application qui
associe
au point M(x , y) le point M'( y , x) . g est donc la réflexion par rapport
à la droite (D) d'équation "y = x".
Donc,
f est un antidéplacement.
Propriété III:2:
La
composée de 2 déplacements est un déplacement.
La composée
de 2 antidéplacements est un déplacement.
La composée
d'un déplacement et d'un anidéplacement est un antidéplacement.
La
réciproque d'un déplacement est un déplacement et la réciproque
d'un antidéplacement est un antidéplacement.
Remarque:
Considérons e l'application définie de
I(P) sur {-1;1} par :
" e(f) = -1 si
f est un antidéplacement et e(f) = 1 si f est un déplacement."
Alors
, pour n élément de I(P) , f1 ; f2 , ...,
fn , on a : e(f1 o f2 o.... o fn)
= e(f1)e(f2)....e(fn)
Si
F est la composée de n déplacements et k antidéplacements,
on a e(F) = (-1)k.
Par exemple, si F = fogoh où f et g sont des déplacement
et h un antidéplacement alors e(F) = -1.
F est donc un antidéplacement.
On
peut alors voir une loi générale.
"LA COMPOSEE D'UN NOMBRE
QUELCONQUE DE DEPLACEMENTS ET D'UN NOMBRE IMPAIR D'ANTIDEPLACEMENTS EST UN ANTIDEPLACEMENT"
"LA
COMPOSEE D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE DEPLACEMENTS ET D'UN NOMBRE PAIR D'ANTIDEPLACEMENTS
EST UN DEPLACEMENT"