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Rubrique Bac S

Rappel de Cours Partie 2:

Les déplacements de (P), plan muni d'un repère orthonormé orienté, sont les isométries conservant les mesures des angles orientés.

I : Déplacement  (Caractérisation , Composition , Expression analytique , Exemples)

Propriété I:1:
Si deux déplacements f et g sont tels qu'il existe deux points A et B distincts tels que f(A)=g(A) et f(B)=g(B)
alors f = g.
En particulier, si un déplacement f admet deux points distincts invariants alors f est l'identité sur (P).

Effectivement, la composée de deux déplacements est un déplacement et la réciproque d'un déplacement est un déplacement.
Donc, si f(A)=g(A) et f(B)=g(B) alors fog^-1 est un déplacement admettant deux point invariants.
C'est donc une rotation ou une translation. Et donc l'application identité (car il y a deux points invariants distincts dans le plan (P)).
D'où f = g.

Propriété I:2:
Si A et B sont deux points distincts et si A' et B' sont deux points tels que AB = A'B' alors
Il existe un unique déplacement f tel que f(A) = A' et f(B) = B'.
De plus, f est soit une translation soit une rotation.

Remarquons que si ABB'A' est un parllélogramme, f est alors une translation de vecteur .(Cas 1:)

Dans les autres cas, f est une rotation d'angle orienté (AB,A'B') et dont le centre O doit être équidistant des points A et A', et des points B et B'.

Si , par exemple, A A'  et B B', alors le centre O de cette rotation est :
- le point d'intersection des médiatrices de [AA'] et [BB'] (Cas 2).
- le point d'intersection de (AB) et (A'B') sinon (cas 3).

Le cas le plus direct est celui où, par exemple, B = B'.
Il suffit alors de choisir pour f  la rotation de centre B telle que f(A)=A'.

La construction des éléments de f est donc assez simple.

 Exemple:
Dans (P) muni d'un repère orthonormé direct, considérons les points A(1;0) , B(1;1) , A'(-1;0) et B'(-2;0).
On vérifie sans problème que AB = A'B' = 1. Comme ABB'A' n'est pas un parallélogramme, et que les droites (AA') et (BB') ne sont parallèles, on est dans le cas 2.
La médiatrice de [AA'] a pour équation " x = 0" et la médiatrice de [BB'] a pour équation "y = -3x -1".

Le point d'intersection de ces 2 médiatrices est donc W(0;-1)
f est donc une rotation de centre W . Comme (WA , WA') = p /2) , on peut dire que f est la rotation de centre W et d'angle p / 2 .

Propriété I:3:
Si f et g sont 2 rotations de centres respectives A et B  et d'angles respectifs a et b , alors  fog est une rotation d'angle (a+b) à 2p près..
De plus, si f et g ont même centre alors fog est aussi de centre A = B .
En général, fog # gof.
 

Expressions Analytiques.
A: Un déplacement dans (P) est une translation ou une rotation.
Dans le cas d'une translation t , de vecteurs de coordonnées (a ; b), l'expression analytique de t est :  
             | x' = x + a
             | y' = y + b

Dans le cas de la rotation R de centre W(a;b) et d'angle q , R est la composée de la rotation de centre O, centre du repère, et d'angle q  ,
et de la translation de vecteur u(a ; b ).   R = toR'  ,  R' = rotation ce centre O , d'angle q  , et t translation de vecteur u(a;b). 
On en déduit que l'expression analytique de R est :
                  " x' = xcos(q) - ysin(q) + a
                  " y' = xsin(q) + ycos(q) + b
Dans l'exemple précédent, l'expression analytique de f est :   
                 "x' = -y  
                 "y' = x - 1 "

Remarquons que si A, B , A' et B' sont 4 points tels que AB = A'B' , il existe un unique déplacement f tel que f(A)=A' et f(B)=B'.
Dans le cas où ce déplacement est une rotation, l'angle q de cette rotation est déterminée par les relations:

 Exemple :

On a AB = A'B' = 2. Donc l'existence d'un déplacement f tel que f(A)=A' et f(B)=B' est assurée et celui-ci est une rotation.
En appliquant les formules précédentes, on détermine alors que l'angle de cette rotation vérifie:

Un simple calcul en utilisant les médiatrices de [AA'] et [BB'] donne que leur point d'intersection est W(2 ; -1).
f est déterminée par l'expression analytique suivante:
                         

II Antidéplacement
On sait que la composée d'un nombre pair d'antidéplacements est un déplacement, c'est à dire, une translation ou une rotation.
On sait aussi que si S et S' sont deux réfléxions par rapport à des droites (D) et (D'), alors:

• SoS' est un translation si (D) et (D') sont parallèles, le vecteur u de la tanslation étant un vecteur normal à (D) et (D').
• SoS' est une rotation sinon, le centre de cette rotation étant le point d'intersection de (D) et (D'), l'angle de cette rotation étant 2Angle(D',D), l'angle (D',D) étant donné à p près .

Soit f un antidéplacement de (P).
Soit S une réflexion quelconque. La composée  g = foS est alors un déplacement, donc une translation ou une rotation.
On peut donc écrire que g = S"oS'  où S" et S' sont deux réflexions, S' étant choisie arbritairement.
Comme SoS =identité sur (P), on a alors  :      S"oS'oS = f
On voit donc que:

Propriété II:1:
Tout antidéplacement est la composée d'un déplacement et d'un réflexion : f = goS

Ce produit est alors de deux natures: g est soit une translation ,soit une rotation.
Pour g translation on a 2 cas:

• Cas 1: le vecteur u de cette translation est normal à (D), axe de la réflexion S.
  On écrit alors g = S"oS' où S" et S' sont deux réflexions d'axes parallèles (D") et (D'), avec u normal à (D")et (D').
  Donc, les droites (D), (D') et (D") sont parallèles.
  On peut alors choisir (D') = (D).  Donc S'= S et f = S"oS'oS  = S". Donc , f est la réflexion S".
• Cas 2: le vecteur u n'est pas normal à (D).
   On écrit u = v + w où v est un vecteur directeur de (D) et w un vecteur normal de (D).
  Les translations T_v et T_w de vecteurs respectifs v et w vérifient alots g = T_voT_w .
  On a a donc f = T_vo(T_w oS) .  Comme (T_w oS) est une réflexion d'axe (D") parallèle à (D) d'après le cas 1, on en déduit que f est la composée d'un translation de vecteur v et d'un reflexion d'axe (D"), v étant vecteur directeur de (D").

D'où:
Propriété II:2:
La composée d'une translation T de vecteur u et d'une réflexion S d'axe (D) est
   - une réflexion si u est normal à (D)
   - la composée d'un translation T_vde vecteur v , directeur de (D),  et d'une réflexion d'axe parallèle à (D) sinon.
 On voit sur les figures ci-dessous les deux cas:

Figure 1 : Le vecteur u est normal à (D)

Figure 2: Le vecteur u n'est pas normal à (D)