Retour vers l'Accueil                                Déplacements et Antidéplacements

Rappel de Cours Partie 3:

I : Déplacement
Dans le plan (P) muni d'un repère orthonormé direct, un point M peut être assimilé à son affixe z.
Si M a pour coordonnées (x ; y) , l'affixe de M est le nombre complexe z = x + iy où i est le nombre complexe d'argument p /2 vérifiant i² = -1.

Si a est un nombre complexe de module 1 , |a| = 1, alors la multiplication de z par a revient à déterminer le nombre complexe z' = az tel que:
|z'|=|z|  et  Arg(z') = Arg(z) + Arg(a) à 2kp près .
Géométriquement, ceci revient à appliquer à M la rotation de centre O, centre du repère, et d'angle Arg(a).

La translation de vecteur u(X ; Y) a pour expression analytique " x' = x + X  ,  y' = y + Y".
Si on pose b = X + iY , l'image de M par cette translation est alors le point M' d'affixe z' = z + b .

Comme un déplacement f peut toujours d'écrire sous la forme f = toR , où R est une rotation de centre O, on en déduit que l'expression complexe d'un déplacement est la forme:  z ' = a z + b , où  a est un complexe de module 1.

Propriété I:1:
f est un déplacement dans (P) si et seulement son expression complexe est de la forme z ' = a z + b , où |a| = 1.
Dans ce cas, f est une translation si a = 1 , et une rotation sinon.
Le centre W de la rotation , dans ce dernier cas, est le point d'affixe w vérifiant : w = aw + b , car W est point invariant de f .
L'angle de f est l'argument de a .

Exemples:
1 :  Si l'expression complexe de f est " z' = -z + i" , on a bien "z' = az + b" avec a = -1 et b = I .
|a| = 1 , f est bien une rotation.  Un argument de a est p , le point invariant a pour affixe la solution de w = -w + i.
Donc f est la rotation de centre W d'affixe w=i /2 et d'angle p .

2 : Si A(1 ; 0) , B(2 ; 0) ,  A'(-1 ; -1) et B'( -1 ; 0), on a AB = A'B' = 1. Il existe donc un déplacement f vérifiant f(A)=A' et f(B)=B'.
Ce déplacement admet une expression complexe sous la forme : z ' = a z + b , où |a| = 1.
Les affixes des points A, B, A' et B' sont  Z_a = 1 , Z_b = 2 , Z'_a = -1 - I ,  Z'_b = -1
On doit donc avoir les relations:   Z'_a = aZ_a + b   et   Z'_b = aZ_b + b.
 
L'expression complexe de f est donc : z' = -iz - 1 - 2i.  avec Arg(-i) = -p / 2 .
On vérifie sans peine que la solution de "w = -iw - 1 -2i" est " w = -3/2 -i/2"
f est donc la rotation de centre W(-3/2 ; -1/2) et d'angle -p /2 .

II : Antidéplacement
On sait que la composée de deux antidéplacements est un déplacement.
De plus, la réflexion S par rapport à la droite des abscisses "y = 0" a pour expression complexe .
Si f est un antidéplacement, alors D = Sof est un déplacement.
L'expression complexe de D est z ' = a z + b , où  a est un complexe de module 1.
Or, si D = foS alors DoS = f (car SoS = S).
Pour un point M d'affixe z, d'image M' d'affixe par f, on a  donc:
       
Doù :
Propriété II:1:
f est un antidéplacement dans (P) si et seulement si son expression complexe est de la forme
                                        

Exemple:
Soit f la réflexion par rapport à la droite (D) d'équation " 2x + y - 5 = 0"
Les points A(0 ; 5) et B( 2 ; 1) sont sur (D) , on a donc f(A)=A et f(B)=B.
Les affixes de ces points sont (5i) et (2+i) et leurs conjugués respectifs sont (-5i) et (2-i).
Pour obtenir l'expression complexe de f, on cherche donc deux complexes a et b tels que:
   " 5i = a(-5i) + b   et   2+i = a(2-i) + b"
Un simple calcul donne alors "a = -(3+4i)/5  et  b = 4+2i"

Une remarque!
Des expressions complexes des déplacements et antidéplacements, on voit qu'elles sont déterminées à 2 inconnues près , a et b .
Il suffit donc de 2 équations indépendantes pour obtenir ces valeurs.
Il suffit donc de connaitre deux points A et B ainsi que leurs images , pour obtenir l'expression complexe d'un déplacement, ou d'un antidéplacement.