Retour vers l'Accueil                                Déplacements et Antidéplacements

Liste 2 Exercices
Dans tous ces exercices, le plan (P) est rapporté à un répère orthonormé direct (O ;i,j)
Si M est un point de (P) de coordonnées (x ; y) , l'affixe de M est le nombre complexe z = x + iy  
où i est le nombre complexe vérifiant i² = -1 et Arg(i)=.On note alors M(z)

1. f est l'application de (P) dans (P) qui, à tout point M(z) associe M'(z') tel que z' = iz + 2.
   a: Montrer que f est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
   b: Déterminez l'ensemble des points M tels que l'affixe de f(M) soit un imaginaire pur.
   c: Déterminer l'ensemble des points M tels que l'affixe de f(M) ait pour module 2.
   --------------------------------------------------------------
   
2. Soit A, B , C et D les points d'affixes respectives : 1  ,  6  ,  1 + i , d .
   a: Quel est l'ensemble des points D tels qu'il existe un déplacement f de (P) vérifiant f(A)=C et f(B)=D?
   b: Dans quels cas ce déplacement est une translation ?
   c: Dans quels cas ce déplacement est une rotation d'angle ?
   --------------------------------------------------------------
3. R est la rotation de centre O tel que R(A)=B où A() et B(1+i) . T est la translation telle que T(A)=B.
   a: Justifier l'existence de R et déterminer son angle.
   b: Déterminer RoT(O) ,ToR(O) , RoT(A) , ToR(A) , RoT(B) , ToR(B).
   c: Quelle est la nature de RoT ? donner son expression complexe et déterminer ses élèments caractéristiques.
   d: Même question pour ToR .
   --------------------------------------------------------------
   
4. Soit un triangle ABC, les points P , Q et R pris respectivement sur (BC) , (CA) , (AB) et tous distincts de A, B et C.
   Démontrer que les cercles CPQ , AQR et BRP passent par un même point I , puis démontrer que A, B , C et I sont cocycliques si et seulement si les points P, Q et R sont alignés.
   --------------------------------------------------------------
   
5.  Soit A, B , C et D 4 points distincts 2 à 2 , cocycliques et tels que les droites (AB)  et (CD) soient orthogonales.
   On note O le point d'intersection de (AB) et (CD) et O' le milieu de [AD].
   Montrer que (OO') est orthogonale à (CB).
   --------------------------------------------------------------
   
6.  On pose . On définit l'application f qui au point M(z) associe M'(z' ) avec z' = -jz + i .
   a: Montrer que f admet exactement un point invariant W, don't on donnera l'affixe. Caractériser géométriquement f.
   b: On défini dans (P) la suite (M _n) par :     
       i: Construire W , M₀ , M₁ et M₂.
      ii: On note zn l'affixe de Mn et on pose .
          Montrer qu'il existe un nombre complexe a tel que pour tout n, Z_n+1 = aZ_n.
          Déterminer un entier naturel non nul p tel que a^p = 1
     iii:  Donner l'expression de Z_n puis celle de z_n en fonction de n. Calculer z₂₀₀₂ et placer M₂₀₀₂.
   --------------------------------------------------------------
   
7.  ABC est un triangle équilatéral tel que
   I est le milieu de [BC] et J le point tel que B soit le milieu de [JC].
   r₁ est la rotation de centre A et d'angle et r₂ la rotation de centre B et d'angle -.
   a: Soit A' et B' les images respectives des points A et B par l'application r₁or₂.
      Démontrer que I est le milieu de [AA'] et B le milieu de [AB']. Faire une figure.
   b: En précisant la nature de r₂or₁^-1, démontrer que pour tout point M du plan, I est le milieu de [M₁M₂] , M₁ étant l'image de M par r₁ et M₂ l'image de M par r₂.
   c: Démontrer que r₂or₁ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.