Maths-Express Déplacements Similitudes

Liste 2 Exercices
Dans tous ces exercices, le plan (P) est rapporté à un répère orthonormé direct (O ;i,j)
Si M est un point de (P) de coordonnées (x ; y) , l'affixe de M est le nombre complexe z = x + iy
où i est le nombre complexe vérifiant i² = -1 et Arg(i)=.On note alors M(z)

f est l'application de (P) dans (P) qui, à tout point M(z) associe M'(z') tel que z' = iz + 2.
a: Montrer que f est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
b: Déterminez l'ensemble des points M tels que l'affixe de f(M) soit un imaginaire pur.
c: Déterminer l'ensemble des points M tels que l'affixe de f(M) ait pour module 2.
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Soit A, B , C et D les points d'affixes respectives : 1 , 6 , 1 + i , d .
a: Quel est l'ensemble des points D tels qu'il existe un déplacement f de (P) vérifiant f(A)=C et f(B)=D?
b: Dans quels cas ce déplacement est une translation ?
c: Dans quels cas ce déplacement est une rotation d'angle ?
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R est la rotation de centre O tel que R(A)=B où A() et B(1+i) . T est la translation telle que T(A)=B.
a: Justifier l'existence de R et déterminer son angle.
b: Déterminer RoT(O) ,ToR(O) , RoT(A) , ToR(A) , RoT(B) , ToR(B).
c: Quelle est la nature de RoT ? donner son expression complexe et déterminer ses élèments caractéristiques.
d: Même question pour ToR .
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Soit un triangle ABC, les points P , Q et R pris respectivement sur (BC) , (CA) , (AB) et tous distincts de A, B et C.
Démontrer que les cercles CPQ , AQR et BRP passent par un même point I , puis démontrer que A, B , C et I sont cocycliques si et seulement si les points P, Q et R sont alignés.
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Soit A, B , C et D 4 points distincts 2 à 2 , cocycliques et tels que les droites (AB) et (CD) soient orthogonales.
On note O le point d'intersection de (AB) et (CD) et O' le milieu de [AD].
Montrer que (OO') est orthogonale à (CB).
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On pose . On définit l'application f qui au point M(z) associe M'(z' ) avec z' = -jz + i .
a: Montrer que f admet exactement un point invariant W, don't on donnera l'affixe. Caractériser géométriquement f.
b: On défini dans (P) la suite (M _n) par :
    i: Construire W , M₀ , M₁ et M₂.
   ii: On note zn l'affixe de Mn et on pose .
       Montrer qu'il existe un nombre complexe a tel que pour tout n, Z_n+1 = aZ_n.
       Déterminer un entier naturel non nul p tel que a^p = 1
  iii: Donner l'expression de Z_n puis celle de z_n en fonction de n. Calculer z₂₀₀₂ et placer M₂₀₀₂.
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ABC est un triangle équilatéral tel que
I est le milieu de [BC] et J le point tel que B soit le milieu de [JC].
r₁ est la rotation de centre A et d'angle et r₂ la rotation de centre B et d'angle -.
a: Soit A' et B' les images respectives des points A et B par l'application r₁or₂.
Démontrer que I est le milieu de [AA'] et B le milieu de [AB']. Faire une figure.
b: En précisant la nature de r₂or₁^-1, démontrer que pour tout point M du plan, I est le milieu de [M₁M₂] , M₁ étant l'image de M par r₁ et M₂ l'image de M par r₂.
c: Démontrer que r₂or₁ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.