Exercice 1:
Voir
la correction de cet exercice
Soient O et A deux points du plan et
a un réel donné non nul.
On définit une suite de points An de la droite (OA) par
: A0 = A
, A1
= O et par la relation:
" Pour
tout n entier naturel An+2 est le barycentre du système {(An+1;1+a) ; (An
; -a)}"
On désigne enfin par xn l'abcisse
du point An dans le repère (O;OA)
1) Démontrer que ,pour tout n entier
naturel : xn+1 = axn -a.
2)
On suppose que a=1.
Exprimer xn en fonction de
n.
Quelle est la limite de la suite xn
?
Que peut on en déduire pour la suite
des points An ?
3) On suppose maintenant que a est
différent de 1.
a) Déterminer un réel b tel que
la suite Un de terme général Un= xn + b soit une suite
géométrique
.Préciser sa raison.
b)Exprimer Un puis xn en
fonction de n .Quelle est la limite de la suite xn.
c) Que peut on en déduire pour la
suite des points An dans chacun des cas suivants :
(i) a=1/2 (ii) a= -1 (iii)
a= 2
Exercice 2:
ABC est un triangle et G son centre
de gravité.
On désigne par D le barycentre du
système {(A;1) ; (B;2) ; (C;3)}
E le
barycentre du système {(A;2) ; (B;3) ; (C;1)}
F le
barycentre du système {(A;3) ; (B;1) ; (C;2)}
On note enfin A' , B' , C' , D' , E'
, et F' les milieux respectifs des segments [BC] , [AC] , [AB] , [EF], [DF] et
[DE].
1)En donnant toutes les explications
nécessaires ,faire une figure .
2)Montrer que G est le centre de
gravité du triangle DEF.
3)Montrer que chaque médiane de l'un
des triangles ABC ouDEF est parrallèle à un coté de l'autre.