Le problème de Napoléon

Exercice 1: Le problème de Napoléon Soit ABC un triangle quelconque de sens direct.
1: Construire les points A' ,B' ,C' extérieurs au triangle tels que A'BC ,AB'C , ABC' soient des triangles équilatéraux .
Soient I,J ,K les centres de gravité respectifs de ces 3 triangles et G le centre de gravité de ABC.
On va montrer que IJK est un triangle equilatéral de centre de gravite G .

2:
a: En utilisant le point A ₁ milieu de [BC] montrer que
b: De même montrer que
c: En utilisant la rotation de centre A et d'angle ( -p / 3) montrer que BB' = CC' et
    que l'angle formé par les vecteurs et vaut 2p / 3 .
d: De même montrer que AA' =BB' et
                                           .
e: Déduire des questions précédentes que G est centre du cercle circonscrit au triangle IJK
f: Montrer que les angles (GI;GJ)=(GJ;GK)=(GK;GI)=2pi/3
g: Montrer que IJK est un triangle équilatéral dont G est le centre de gravité.

Exercice 2: Suite de points et Complexes
Dans le plan complexe P rapporte au repère orthonormal (O;e1;e2) l'unité graphique étant 4 cm ,
on définit l'application f qui au point M associe le point M' d'affixe z' défini par
                             z' = -jz + i   , où j = e ²ⁱ^p^{/ 3}
1: Montrer que f admet exactement un point invariant W dont on donnera l'affixe.
    Caractériser géométriquement f.
2: On definit dans P la suite la suite (M _n ) n appartenant à IN par M ₀ = 0
                                M _n+1 =f(M_n) pour tout n de N
   a) Construire les points M ₀ ; M ₁ ; M ₂
   b) Pour tout entier n ,on note z _n ,l'affixe de M_n et on pose Z _n = z _n -e ⁱ^p^{/ 6)}
       Déterminer un nombre complexe a tel que ,pour tout entier n ,Z _n+1 =aZ _n
       Mettre a sous forme trigonometrique et determiner un entier p srtictement positif
       tel que a^p= 1
   c) Calculer Z _n puis z _n en fonction de n .
       Calculer z ₁₉₈₉ et   placer M ₁₉₈₉ sur le dessin .