(OA) et (OB) sont orthogonales avec (OA,OB)=Pi/2
donc s est la simiiltude de centre O , d'angle
et de rapport 
. Posons N = s(M)
Donc (OM) et (ON) sont aussi perpendiculaires. Donc, M' est sur (ON) et N est sur la droite (OM')
De plus, les droites (AM) et (BN) sont orthogonales (car l'angle de s est
) donc N est sur (AB) N est donc sur (AB) et sur la droite perpendiculaire à (OM) , donc N = M' et on a bien s(M) = M' .
b:
Le triangle OMM'' est rectangle en O. De plus, les rapports
et 
sont égaux.
(C'est simplement le rapport de la similitude s).Donc les triangles OMM' et OAB sont semblables.
OMM' et OAB sont semblables. J=milieu de [AB] et I=milieu de [MM']
Donc les triangles OMI et OAJ sont semblables.
Si S est la similitude de centre O telle que S(A) = J alors S(M) = I.
L'angle de S est
et son rapport est 
b:
En particulier, si M=projeté orthogonal de O sur (D) , alors le quadrilatère OMAM' est un rectangle.
Le milieu de [MM'] est alors égal au milieu de [OA].
Donc, dans ce cas, l'image de M par S est le milieu de [OA].
c:
Si M décrit D alors S(M) décrit une droite! (image par une similitude d'une droite = une droite!)
Or, S(A)=J et S(H) = milieu de [OA]
donc la droite décrite par S(M) est la droite (JK) , où K = milieu de [OA]
c.a.d , médiatrice de [OA]
Posons t = homothétie de centre A et de rapport 2. Alors P = toS(M) , où S est la similitude de la question 2.
toS est aussi une similitude. L'image de D par toS est une droite.
Or : toS(A)=B et toS(H) =O
donc l'image de D est la droite (OB)
Donc, si M décrit D-{A} alors P décrit la droite (OB)-{B}
