Retour à l'Exercice                           Correction Exercice 1: Liste 1: Similitudes   
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1: L'application T est la similitude directe de rapport:
   d'angle et de centre le point A d'affixe z₁ solution de l'équation
   z = (1 + i)z - i .  C'est donc le point d'affixe z₁ = 1.
   Si M est un point du plan distinct de A, d'affixe z, et si M' = T(M) est d'affixe z', on a:
   z' = (1 + i)z - i    d'où    z' - z = i(z - 1)  ou encore : .
   On en déduit qu'un argument de ce nombre complexe est:
                                                       .
   Donc une mesure de l'angle demandé est
       

2: a) On peut voir que la relation z'-z=i(z-i) implique aussi que le triangle AMM' est rectangle en M isocèle et direct.
        D'où le construction de M'  à partir de M. 
   b) L'image de D par T est une droite D'.
       Comme O et C d'affize 1 + i sont sur D, il suffit de connaitre les images de O et C par T
       pour connaitre D'.
       Or, T(O) a pour affixe -i et T(C)  a pour affixe i (simple calcul )
       On en déduit que D' = T(D) est la droite des ordonnées.

3: a) Il est demandé de déterminer l'ensemble des points M tels que zz' = 1.
        Ceci conduit à l'équation, en reprenant la défintion liant z' à z:
        z[(1 + i)z - i] = 1 ou encore z²(1 + i) - iz - 1 = 0 ou encore (z - 1)[z(1 + i) + 1] = 0.
        Le point cherché B doit être distinct de A donc son affixe est distincte de 1.
        On a donc: z(1 + i) + 1 = 0  ce qui donne :
                                                    .
        D'où l'existence et l'unicité du point B.
        Le point B a donc pour affixe  et B' = T(B) pour affixe -(1 + i).
     b) C'est un application de la question 2:
          Le triangle ABB' est rectangle en B.
          Comme A' a pour cordonnées (-1 ; 0), on remarque que AA'B' est rectangle en A'.
          Les points A, A' , B et B' sont donc sur le cercle de diamètre [AB'].