Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul.
On considère la suite (Un) définie par:
1: a: Soit F la fonction définie sur [0 ; 2] par
.Etudier les variations de F sur [0 ; 2]. En déduire que, pour tout réel t dans [0 ; 2],
(3/2) < F(t) < (7/4).
b: Montrer que, pour tout réel t dans [0 ; 2], on a (3/2)e(t/n) < F(t)e(t/n) < (7/4).e(t/n).
c: Par intégration, en déduire que:(3/2)n(e(2/n) - 1) < un < (7/4)n(e(2/n) - 1)
d: On rappelle que
.Montrer que, si (un) possède une limite L, alors L est compris entre 3 et 3,5.
2:
a: Vérifier que, pour tout t Dans [0 ; 2], on a:
.
En déduire l'intégrale 
b: Montrer que, pour tout t dans [0; 2], on a 1 <
e(t/n) <
e(2/t).
En déduire que I <
un <
e(2/n).
c: Montrer que (un) est convergente et déterminer sa limite L.
Correction
Exercice 2: France Métropolitaine Septembre-98
On considère les intégrales I =
cos4(x)dx et J = sin4(x)dx.1:a: Montrer que l'intégrale I peut s'écrire: I =
cos(x)[cos(x) - cos(x)sin2(x)]dx
b: A l'aide d'une inétgration par parties, montrer que :
I = sin2(x)dx - J/3
c: Montrer de même que J = cos2(x)dx - I/3.
2:
a: Montrer que I + J =
.
b: Montrer que I - J = 0.
c: En déduire les intégrales I et J.
Correction
Exercice 3:Asie Juin-98
Pour tout entier naturel non nul n, on cinsudère l'intégrale In =
.1: a: Démontrer que, pour tout x dans l'intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entier naturel, on a:
2:
a: Calculer I1 à l'aide d'une intégration par parties
b: Démontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a:
In+1 = e - (n + 1)In
c: En déduire I2 , I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et
les valeurs approchées à 10-3 près par défaut.
3:
a: Démontrer que pour tout n, 0 
In.
b: Démontrer que pour tout n, (n + 1)In In e .
c: En déduire la limite de In.
d: Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn
.
Correction