par: .

1:a) Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par:  
         Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u₀.
   b) Calculer u₁.
2: a) Prouver que la suite (u_n) est décroissante. En déduire que la suite (u_n) est convergente.
    b) Montrer que pour tout nombre x appartenant à l'intervalle [0 ; 1] on a:  

        Déterminer la limite de (u_n).
3: Pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on pose: I_n =
     a) Vérifier que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on: u_n + u_n-2 = I_n.
          Par une intégration par parties portant sur I_n, montrer que pour tout entier n > 3, on a:

n.u_n + (n - 1)u_n-2 =

(2n -1)u_n <

     c) Montrer que la suite (nu_n) est convergente et calculer sa limite.
Exercice 2   Correction
On considère l'application f de R dans R définie par : f(x) = (x+2)e^-x.
(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ). unité = 2cm
1: Etudiez f et tracez (C).
2: Calculez l'aire en cm² du domaine limité par (C), les axes de coordonnées et la droite
    d'équation "x = m " , (m > 0).
3: Soit .  Montrez que G est une primitive de [f(x)]² sur R.
4: La valeur moyenne de [f(x)]² sur le segment [0 ; m] a-t-elle une limite lorsque m tend vers +oo?

Exercice 3  Correction
On pose où p est un entier naturel non nul.
1: a) Calculez I₁ ( On pourra faire une intégration par parties)
    b) Montrez que pour tout entier naturel non nul : .
    c) Déduisez-en I ₂ , puis I ₃.

2: On considère la suite ( I _p ) , p entier > 0.
    a) Montrez que cette suite est décroissante.
    b) Etablissez la convergence de cette suite vers une limite L >  0.

3:  a) Montrez qu'il y contradiction entre le fait que L soit > 0 et la relation obtenue dans 1: b).
     b) Déduisez-en alors la limite de la suite ( I _p )