1:
Si X est le nombre réponse correcte du candidat sur les cinq questions, comme ses réponses sont
indépendantes et que la probabilité pour chaque question d'avoir une reponse correcte est (p = 0,25),
on peut dire que X suit une loi binomiale de paramètre (n = 5) et (p = 0,25), et pour tout k entier,
P(X=k) = C5k (0,25)k(0,75)(5-k)
a:
P(A) = 0,25 , réponse évidente.
P(B) = P( X supérieur ou égal à 2)
= 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
= 1 - (0,75)5 - 5.(0,25).(0,75)4 = ( 47 / 128 ) = 0,3671875.
b:
Si la candidat obtient un note 4 pour une réponse correcte et une note (-1) pour une réponse incorrecte,
alors la variable aléatoire N correspondant au nombre total de ses points s'exprime en fonction de X de la façon suivante:
N = 4X + (5-X)(-1) = 5X - 5
L'événement "N supérieur ou égal à 10" s'écrit alors "X supérieur ou égal à 3".
La probabilité pour le candidat d'obtenir une note au moins égale à 10 est donc:
P = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
= P(B) - P(X=2) = (47 / 128) - (135 / 512 ) = (53 / 512).
2:
Si le candidat connaît lé réponse correcte à deux questions, il a déjà 8 points.
La probabilité demandée est alrs celle de l'événement suivant " Obtenir au moins 2 points en 3 questions",
ce qui correspond à "Avoir au moins une réponse correcte en 3 questions".
L'événement contraire est "Aucune réponse correcte en 3 questions".
La probabilité demandée est donc : 1 -(0,75)3 = (37 / 64) = 0,578125.