LIBAN BACCALAUREAT S 2003     Retour vers l'accueil

Exercice 1 : Commun à tous les candidats

Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants.
On note p_n la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1) Calculez les probabilités p₂ , p₃ et p₄ .

2) On considère les événements suivants :
   B_n : " On tire une boule blanche lors du n-ième tirage "
   U_n : " On tire une boule blanche et une seule lors des n -1 premiers tirages "
    a) Calculez la probabilité de B_n .
    b) Exprimez la probabilité de l'événement U_n en fonction de n .
    c) Déduisez-en l'expression de p_n en fonction de n et vérifiez l'égalité :
                                     

3) On pose   S_n  =  p₂ + p₃  + .... +   p_n  .
   a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n > 2 , on a :
                                
    b) Déterminez la limite de la suite ( S_n )

Correction Exercice 1:
Sur un tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 1/3 et d'obtenir une boule noire est 2/3.
Les tirages sont indépendants.

p₂ = Probabilité d'avoir 2 boules blanches  = (1/3)² .
p₃ = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 2 premiers tirages puis une blanche
     = 2*(1/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27
p₄ = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 3 premiers tirages puis une blanche
     = 3*(1/3)*(2/3)²*(1/3) =  4/27


a) L'événement  B_n est "obtenir une boule blanche au n-ième tirage".
    Comme les résultats des tirages sont indépendants les uns des autres, on a: P(B_n) = 1/3
b) Pour U_n , la boule blanche peut avoir n'importe quelle position dans les (n-1) premiers tirages,
     les boules autres dans les (n-1) premiers tirages sont noires.
     La dernière boule peut-être quelconque.
     Il y a (n-1) façons de placer la boule blanche patmi les (n-1) premières boules donc:
     P(U_n) = (n-1)*(1/3)*(2/3)^n-2 .
c) L'événement   
     A_n :" exactement une blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une blanche lors du n-ième tirage " 
      est l'intersection de U_n et de B_n  .
      Ce qu'il se passe lors du dernier tirage est indépendants de ce qu'il est passe lors des
      (n-1) premiers tirages. Donc U_n  et  B_n  sont indépendants. D'où P(A_n) = P(B_n)*P(U_n) .
      D'où  p_n = (n-1)*(1/3)*(2/3)^n-2*(1/3) = (n-1)*(2/3)ⁿ/4 .


a) Pour n = 2  ,  S₂  = p₂  = (1/9)  OR  1 - (2/2 + 1)(2/3)² = 1/9.
    L'égalité demandée est donc vraie pour n = 2.
    On fait l'hypothèse de récurrence " S_n = 1 - (n/2 + 1)(2/3)ⁿ . "
    On remarque alors que S_{n + 1} = S_n + p_{n + 1}   = 1 - (n/2 + 1)(2/3)ⁿ   +   n*(2/3)^{n + 1}/4  
    D'où , en mettant (2/3)ⁿ en facteur , on a:
    S_{n + 1} = 1 - (2/3)ⁿ[(n/2 + 1) - n(2/3)/4] = 1 - (2/3)^{n + 1}[(n+1)/2 + 1]  .
    On peut alors conclure par récurrence.
b) On sait que . On en déduit alors que .
     D'où la suite (S_n) converge vers 1

Exercice 2 : Candidat SPECIALITE

Les suites d'entiers naturels ( x_n ) et ( y_n ) sont définies sur N par :
x₀ = 3 et x_{n + 1} = 2x_n   - 1,      y₀= 1 et    y_{n + 1}= 2y_n + 3
1) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n , x_n=   2ⁿ⁺¹  + 1
2) a) Calculez le pgcd de x₈ et x₉ puis celui de x₂₀₀₂ et x₂₀₀₃ d'autre part .
         Que peut-on en déduire pour x₈ et x₉ d'une part, pour x₂₀₀₂ et x₂₀₀₃ d'autre part?
     b) x_n et x_n+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ?
3) a) Démontrez que pour tout entier naturel n , 2x_n  -  y_n =  5
    b) Exprimez y_n en fonction de n .
    c) En utilisant les congruences modulo 5, étudiez suivant les valeurs de l'entier naturel p
         le reste de la division euclidienne de 2^p par 5.

    d) On note d_n le pgcd de x_n et y_n , pour tout entier naturel n .
       Démontrez que l'on a : d_n = 1 ou d_n = 5 .
       En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que x_n et y_n soient premiers entre eux.

Correction (indications)

1) Pour n =0 , 2ⁿ⁺¹  + 1= 2+1 = 3 = x₀ donc la propriété est vraie pour n = 0.
On fait l'hyptothèse de récurrence x_n = 2ⁿ⁺¹  + 1 .
x_n+1 = 2x_n   - 1 donc x_n+1 = 2(2ⁿ⁺¹  + 1)  - 1   d'où x_n+1 = 2ⁿ⁺²  + 1
Ce qui est bien la propriété à l'ordre ( n +1), d'où la conclusion par récurrence.

2) a) et b)
D'après la relation de récurrence entre x_n+1 et x_n , on a : -x_n+1 + 2x_n = 1 .
Donc, d'après le théorème de BEZOUT, x_n et x_n+1 sont premiers entre eux pour tout entier naturel n

3) a) Pour tout entier naturel n , on a:

2x_n+1  -  y_n+1 = 2(2x_n   -1)  - (2y_n   +3 ) = 2(2x_n  -  y_n) - 5
Donc, si (2x_n  -  y_n) = 5 alors 2x_n+1  -  y_n+1 = 5 .
Comme (2x₀  -  y₀) = 5 , on peut conclure par une récurrence.
b) Avec la question 1), on a alors :  y_n = 2x_n - 5 = 2ⁿ⁺² - 3
c) 2⁰ = 1 mod 5 , 2² = 2 mod 5 , 2² = 4 mod 5 , 2³ = 3 mod 5 , 2⁴ = 4 mod 5
        d'où si p = 4 k alors Reste = 1
               si p = 4 k + 1 alors Reste = 2
               si p = 4 k + 2 alors Reste = 4
               si p = 4 k + 3 alors Reste = 3
d) On sait que (2x_n  -  y_n) = 5 donc d divise 5. Comme 5 est premier alors d =1 ou 5.
On en déduit que d = 5 si et seulement si x_n et y_n sont tous les deux divisibles par 5.
Donc, si et seulement si 2ⁿ⁺¹ + 1 et 2ⁿ⁺²  - 3 divisibles par 5.
En utilisant le résultat de la question précédente, cela signifie que n est de la forme n = 4 k + 1.

PROBLEME (11 points)

Partie A : Etude d'une fonction auxiliare g
La fonction g est définie sur R par : g(x) = 2e^x + 2x - 7.

Etudiez les limites de g en -oo et en +oo.
Etudiez le sens de variations de g sur R et dressez son tableau de variation.
Jusitifiez que l'équation g(x)=0 admet dans R une solution unique a telle que:
0,94 < a < 0,941.
Etudiez le signe de g sur R.

 Partie B : Etude d'une fonction f .
La fonction f est défnie sur R par : f(x) = (2x-5)(1-e^-x) .
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O; i , j ) .

Etudiez le signe de f sur R.
Etudiez les limites de f en -oo et en +oo.
Calculez f '(x) , où f désigne la fonction dérivée de f , et vérifiez que f '(x) et g(x) ont le même signe.
Dressez le tableau de variations de f.
a) Démontrez l'égalité :
b) Etudiez le sens de variation de la fonction sur l'intervalle]-oo ; 2,5[
    En déduire, à partir de l'encadrement de a obtenu dans la partie A, en encadrement d'amplitude
    10^-2 de f(a).
Démontrez que la droite (D) d'équation y = 2x - 5, est asymptote à (C) en +oo.
Préciser la position de (C) par rapport à (D).
Tracez la droite (D) et la courbe (C) dans le repère (O ; i , j )(unité graphique 2cm)

Partie C : Calcul d'aire
A l'aide d'une intégration par parties, calculez en cm² l'aire A de la portion du plan délimitée par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordoonnées et la droite d'équation x = 2,5.

Partie D : Etude d'une suite de rapport de distance
Pour tout entier naturel n > 3 , on considère les points A_n , B_n  et  C_n  d'abscisse n appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite (D) et à la courbe (C).
Soit u_n  le réel défini par :

Démontrez que pour tout entier naturel n > 3, on a  :
a) Quelle est la nature de la suite (u_n )?
b) Calculez la limite de la suite (u_n ). Pouvait-on prévoir ce résultat?

                                                       Correction du Problème:
Partie A:

On sait que  donc .
On sait que  donc
 
g est somme de 2 fonctions strictement croissante sur R donc g est strictement croissante sur R.
On peut aussi calculer la dérivée de g sur R et voir que celle-ci est strictement positive.
 
D'après les limites de g en +oo et -oo, comme g est continue sur R, d'après le thèorème des valeurs intermédiaires, on peut dire qu'il existe un réel a tel que g(a)=0.
Comme g est strictement croissante sur R, cette valeur a est unique.
 De plus, pour x < a , g(x) < 0  et  pour x > a , g(x) > 0.
Un simple calcul machine montre que g(0,94) < 0 et g(0,941) > 0 d'où 0,94 < a < 0,941.
Voir au-dessus.

Partie B.

f(x) < 0 sur ]0 ; 2,5[ et f(x) > 0 sur ]-oo;0] U [2,5 ; +oo[ .
 
 et   
 
f ' (x) = 2(1-e^-x) + (2x-5)(e^-x) = 2-7e^-x+2xe^-x  = e^-x(2e^-x + 2x -7) = e^-xg(x).
Comme  e^-x > 0 sur R, on en déduit que f '(x) et g(x) sont de même signe.
On connait le tableau de signes de g(x) (voir partie A), donc celui de f ', donc le tableau de variations de f sur R .
 
a)  a vérifie g(a) = 0 donc on a : .
      D'où,
b) On vérifie sans peine que la dérivée de h est définie par :
     D'où h '(x) > 0 sur ]-oo ; 2,5 [ d'où h est strictement croissante sur cet intervalle.
     Comme 0,94 < a < 0,941 ,  on a h(0,94) < h(a) < h(0,941) d'où, par exemple,
     -1.905 < h(a) < -1,895.


f (x) - (2x-5) = - (2x-5)e^-x = -2xe^-x + 5e^-x . Comme
on en déduit que . Donc la droite (D) est bien asymptote à (C) en +oo.
De plus, f (x) - (2x-5) >  0 sur ]-oo ; 2,5[ et < 0 sur ]2,5 ; +oo[ donc
(D) est en-dessous de (C) sur ]-oo ; 2,5[ et au-dessus de (C) sur ]2,5 ; +oo[.

 Partie C.
L'aire demandée est : . Pour calculer l'intégrale qui intervient ici, on effectue une intégration par parties.
 
D'où l'aire : A  = (13 - 8e^-2,5)cm² .

Partie D.

Question sans difficulté, il suffit de connaître les coordonnées des points considérés et de faire le calcul!


a) Après simplication de l'expression de u_n , on a : u_n = e^-n .
b) Cette suite donc géométrique de raison e^-1 . Elle converge donc vers 0 car |e^-1| < 1.
    Comme (D) est asymptote à (C)........