Baccalauréat S Juin 2004 MAROC

Exercice 1: (6 points) Commun à tous les candidats (Voir la correction)
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, u  , v) , unité graphique = 2cm.
On appelle A le point d'affixe -2i.
A tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' = -2 + 2i

On considère le point B d'affixe b = 3 - 2i.
Détermininer la forme algébrique des affixes a' et b' des points A' et B' associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur un dessin


Montrer que si M appartient à la droite (D) d'équation y = -2 alaors M' appartient aussi à (D).


Démontrer que pour tout point M d'affixe z , |z' + 2i| = 2|z + 2i|. Interpréter géométriquement cette égalité.


Pour tout point M distinct de A, on appelle  un argument de z + 2i.
a) Justifier que est une mesure de l'angle .
b) Démontrer que (z + 2i)(z' + 2i) = est un réel négatif ou nul.
c) En déduire un argument de z' + 2i en fonction de .
d) Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM ) et [AM' ) ?


En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M' associé au point M.

Exercice 2:  (5 points) Spécialité (Voir la correction)
On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant:
"Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le chiffre 1 peuvent-ils être premiers ?"

Pour tout entier naturel p > 2 , on pose N_p =  1....1 où 1 apparaît p fois.
On rappelle dès lors que N_p = 10^p-1 + 10^p-2 + ....+ 10⁰.

Les nombres N₂ = 11 ; N₃ = 111 , N₄ = 1111 sont-ils premiers ?
Prouver que  . Peut-on être certain que 10^p-1 est divisible par 9 ?
On se propose de démontrer que si p n'est pas premier alors N_p n'est pas premier.
a) On suppose que p est pair et on pose q = 2p, où q est un entier naturel > 1.
     Montrer que  N_p   est divisible par N₂   .
b) On suppose que p est un multiple de 3 et on pose p = 3q , où q est un entier naturel > 1.
      Monntrer que  N_p   est divisible par N₃   .
c) On suppose que p non premier et on pose p = kq , où k et q sont des entiers naturels > 1.
      Monntrer que  N_p   est divisible par N_k   .
Enoncer une condition nécessaire pour que   N_p   soit premier.
Cette condition est-elle suffisante ?

Exercice 2: (5 points) Pour les non-spécialité (Voir la correction)
Un employé se rend à son travail en bus. S'il est à l'heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l'entreprise, s'il est en retard il prend le bus de la ville, il lui en coûte 1,5 €.
Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est  .
S'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est .
Pour tout entier naturel non nul n , on appelle Rn l'événement: "l'employé est en retard le jour n".
On note p_n la probabilité de R_n et q_n celle de . On suppose que p₁ = 0.

Détermination d'une relation de récurrence.
a: Déterminer les probabilités conditionnelles :
b: Déterminer en fonction de p_n et fonction de q_n .
c: Exprimer  p_{n + 1} en fonction de p_n et q_n. .
d: En déduire que


Etude de la suite (p_n)
Pour tout entier natrel non nul n, on pose
a: Démontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison
b: Exprimer v_n  puis p_n en fonction de n.
c: Justifier que la suite (p_n) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3 (9 points) Commun à tous les candidats (Voir la correction)
On s'intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d'une entreprise. Les fonctions f associées, définies sur l'intervalle [0;1] doivent vérifier les conditions suivantes.
   (1) f (0) = 0 et f (1) = 1.
   (2) f est croissante sur l'intervalle [0;1].
   (3) Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;1], f (x) < x .
Le plan est rapporté au repère orthonormal R = (O ; i , j) , unité graphique 10 cm.

I) Etude d'un modèle
On appelle g la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par g(x) = xe^x-1 .

Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).
Montrer que et en déduire que g vérifie la condtion (3).
Tracer les droites d'équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II) Un calcul d'indice
Pour une fonction f vérifiant les conditions (1) , (2) , (3), on définit un indice I égal à l'aire exprimée en unité d'aire, domaine plan démilité par les droites d'équations y = x , x = 1 et la courbe représentative de f.

Jusitifier que
A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'indice I_g de g .
On s'intéresse aux fonction f_n définies sur l'intervalle [0;1] par : où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1),(2),(3) et on se propose d'étudier l'évolution de leur indice  I_n  lorsque n tend vers l'infini.
a) On pose . Prouver que
b) Comparer sur l'intervalle [0;1]. En déduire que la suite (u_n ) est décroissante.
c) Prouver que pour tout réel t appartenant à l'intervalle [0;1], .
d) En déduire que pour tout entier naturel n > 2 , .
e) Déterminer alors la limite de (I_n ) quand n tend vers l'infini.

Correction Exercice 1:
1: Simple calcul :   a' = -2i  et b ' = -6 - 2i.

2:  M appartient à la droite d'équation y = -2 si et seulement si z = x - 2i avec x réel.
     Alors, z ' = -2(x + 2i) + 2i = -2x - 2i   donc M' d'affixe z ' appartient aussi à la droite d'équation y = -2.

3: Pour tout point M d'affixe z, on a :     |z ' + 2i| =| ( -2 + 2i ) + 2i | =  | -2 + 4i | = 2| -2i | = 2| z + 2i |
    car tout nombre complexe a le même module que son conjugué.
  On peut alors dire que pour tout point M, distance(AM ') = 2distance(AM) , AM ' = 2AM.

4: un argument de z + 2i.
   a: L'affixe du vecteur est z + 2i. Donc, est bien une mesure de l'angle .
   b: Là aussi, simple calcul ! Pour faire simple, poser z = x + iy avec x et y réel.
       Alors on a : z + = 2x  , z - z' = 2iy  ,  z = x² + y² = |z| ²  donc
       (z + 2i)(z' + 2i) = (z + 2i)(-2 + 4i) = -2z + 4iz -4i - 8 = -2|z|² +8i²y - 8 = -2(x²+y²) - 8y - 8
      D'où (z + 2i)(z' + 2i) = -2x² -2y² - 8y - 8 = -2x² - 2(y+2)²
      D'où (z + 2i)(z' + 2i) est bien un réel négatif.
      Mais on peut faire encore plus simple et plus rapide.
      On remarque que (z' + 2i) = (-2 + 4i)  donc  (z+2i)(z'+2i) = (z+2i)(-2 + 4i) = -2( - 2i)(z + 2i).
      Or, ( - 2i) est le conjugué de (z + 2i)  donc |z + 2i|² = ( -2i)(z+2i)
      D'où (z + 2i)(z' + 2i) = -2|z + 2i|² qui est bien un réel négatif.

    c: Les réels négatifs non-nuls ont pour argument à 2 près.
       Or Arg((z + 2i)(z' + 2i)) = Arg(z+2i) + Arg(z'+2i) à 2 près.
       On sait que   est un argument de (z+2i) d'où un argument de (z'+2i) est - .

    d: On peut alors en déduire que les demi-droites [AM) et [AM') sont les deux demi-droites opposées
        d'extrémités A d'une même droite.

5: Les points A, M et M' sont alignés et A est situé sur le segment [MM'].
    De plus, AM' = 2AM.
    Construction de M' à partir de M :
    Etape 1 : On place M, puis on trace la droite (AM).
    Etape 2:  On trace le cercle de centre A et de rayon 2AM.
    Etape 3:  Ce cercle et la droite (AM) ont deux points d'intersection.
    Le point M' est le point d'intersection situé sur la demi-droite ne contenant pas M.

Correction Exercice 2 : Spécialité
1:  11 est premier , 111 n'est pas premier car divisible par 3 , 1111 n'est pas premier car divisible par 11.

2:   : Penser à la somme des termes de la suite géométrique de raison 10 .....
     10^p-1 est divisible par 9 car 10 1 [9]  donc 10^p 1^p [9] donc 10^p - 1 0 [9]

3: a) p = 2q
        On écrit alors que N_p = N_2q = 11111111. ..11 où 11 apparaît q fois.
        On a alors N_p = N_2q = 11x10^q-1 + 11x10^q-2 + ... 11x10⁰ = 11x(10^q-1 + 10^q-2 + 10⁰)
         D'où N_p est divisible par 11

     b) Même principe que pour le a) !  Mais avec 111.

    c) Toujours le même principe mais avec 1111 .11  ( 1 apparaît k fois!)

4) Si N_p est premier alors p est premier. Réciproque fausse car 3 est premier mais N₃ ne l'est pas.

Correction Exercice 2: Non-Spécialité
1: a: Tout est donné par l'énoncé.
         

    b:

         

   c: et d:
       On sait que q_n = 1- p_n.  De plus, d'après le Loi des Probabilités Totales, on a:
       
       et enfin :

2:  .
     a: Pour tout n entier naturel:
         
           La suite (v) est bien géométrique de raison -3/20.

      b: p₁ = 0 donc v₁ = - 4/23 d'où l'expression de v_n en fonction de n:
           v_n = -(4/23)(-3/20)^{n -1} .  d'où  p_n = 4/23 - (4/23)(-3/20)^{n -1} .

     c: Si n tend vers l'infini alors (-3/20)^{n -1} tend vers 0 car |-3/20| <  1.
         Donc la suite (p_n) converge vers 4/23 .

Correction exercice 3: Commun à tous les candidats

Première partie:
g(x) = xe^x-1 .
1: g(0) = 0  et  g(1) = 1e⁰ = 1 . Donc g vérifie la condition (1).
    g est croissante sur [0;1] car g'(x) = e^x-1 + xe^x-1 > 0 sur [0;1]
    De plus , pour tout x dans [0;], x - 1 < 0 donc e^x-1 < 1 donc xe^x-1 < x car x > 0.
    Donc g vérifie la condition (2) et la condition (3)

2:
    Comme x est entre 0 et 1, on a : e^x < e¹ , c'est à dire e^x - e < 0 d'où g(x) - x < 0
    D'où on retrouve le fait que g vérifie la condition (3).

Seconde partie:

1: Sur l'intervalle [0;1], f (x) < x donc l'indice I est bien égale à

2:
     Or,       
     De plus :
     
   D'où
   

3:  

     a:

     b: n est un entier naturel donc sur [0;1], tⁿ⁺¹ < tⁿ et (1+t) > 0 donc
          Donc, pour tout n entier naturel supérieur à 2, on a: f_n+1(x) < f_n(x) sur [0;1]
          Donc,  d'où la suite (u_n) est bien décroissante.

    c: Pour tout t dans [0;1], on a 1 < 1 + t , d'où les inégalités demandées ....

    d: En particulier, pour tout n entier naturel > 2, et pour tout x dans [0;1],
                                               
       D'où
        
     Donc on a bien, pour tout entier naturel n > 2:
                                                 

     e: On sait que 1/(n+1) tend vers 0 si n tend vers +oo.
         Donc, d'après le Théorème des "gendarmes", on en déduit,
         d'après les inégalités précédentes, que la suite (u_n) converge vers 0.
          D'où, I_n converge vers 1/2.