. Donc la suite (un)
tend vers +oo.Exercice 1: Commun à tous
les candidats
1) Pour
tout n
entier naturel, un+1
- un
= 2n+3
> 0 car n
> 0.
La suite est donc strictement croissante.
2)
a: On pose (Pn)
la propriété suivante "un
> n²
".
(Po) est vraie
car u0
= 1.
On formule l'hypothèse
de récuurence (Pn)
On
a alors : un+1
= un
+ 2n
+ 3 > n²
+ 2n
+ 3 > (n+1)²
+ 2 > (n+1)².
On
a donc : (Pn)
=> (Pn+1)
pour tout n
entier naturel.
La
propriété (Pn)
est donc hériditaire. D'où la conclusion par récurrence.
b:
On sait que . Donc la suite (un)
tend vers +oo.
3)
Un simple calcul montre que u0
= 1 , u1
= 4 , u2
= 9 , u3
= 16.
On peut donc conjecturer que l'expression
de un
en fonction de n est
: un
= (n+1)².
On
peut alors faire une récurrence....
Si
un
= (n+1)²
alors un+1
= un
+ 2n
+ 3 = (n+1)²
+ 2n
+ 3 = n²
+ 2n
+ 1 + 2n
+ 3
un+1=
n²
+ 4n
+ 4 = (n+2)²
Et
on peut conclure.
Autre méthode,
plus directe!
un
- un-1
= 2(n-1)
+ 3
un-1
- un-2
= 2(n-2)
+ 3
...............
u3
- u2
= 2*2 + 3
u2
- u1
= 2*1 + 3
u1
- u0
= 2*0 + 3
Donc, en faisant la somme:
un
- u0
= [2(n-1)
+ 3] + [2(n-2)+3]
+ .... + [2*0+3]
un
- u0
est donc la somme de n
termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Premier
terme de cette somme = [2(n-1)+3]
, dernier terme = [2*0+3]
D'où
:
D'où un
= n(n+2)
+ u0
= n²
+ 2n
+ 1 = (n+1)²
Exercice
2 : Pour les candidats non-spécialité:
1) Plusieurs
façons de faire cette vérication
Par
exemple:
(1 + i)² = 1 +2i - 1 = 2i donc
(1+i)6 = (2i)3 = -8i car i² = -1 donc i3
= -i.
2) a: Comme (1 + i)6
= -8i , on a : [(1 + i)3]2
= -8i. Donc une solution de (E) est Z1 = (1+i)3
= - 2 + 2i .
On
a alors : (z² + 8i) = (z² - Z1²) = (z - Z1)(z
+ Z1).
D'où
(z² + 8i) = 0 si et seulement si z = Z1 ou z = -Z1
. D'où l'autre solution Z2 = 2 - 2i .
3) C'est la même idée que pour 2). On écrit
que z6 = (z²)3
.
D'où une solution de (E ') : z1
= (1 + i)² = 2i
4) a: L'expression complexe de la rotation de centre O et d'angle
2p/3 est :
A a pour
affixe 2i et B = r(A). Donc l'affixe b de B est :
De même l'affixe
c de C = r(B) est:
b: On sait que a3
= (2i)3 = -8i . Posons 
. Remarquons que J3 = 1
On
a alors b = aJ donc b3 = (aJ)3 = a3 J3
= a3 = -8i .
De
même , c = bJ = aJ² donc c3 = b3 J3
= b3 = -8i.
D'où
b et c sont bien solutions de (E ').
5) a: Faites la figure !!!!
b:
ABC est un triangle équilatéral. Et pour le voir, pas de calculs
compliqués!
Distance
AB = |b - a| = |aJ - a| =
Distance
BC = |c - b| = |aJ² - aJ| = | J |.|aJ-a| = |aJ-a| car | J |
= 1.
Distance
AC = |c - a| = |aJ² - a| = | J |.|aJ² -a| = |aJ3 - aJ|
= |a - aJ| car J3 = 1.
c:
Le centre de gravité de ABC est O. On peut par exemple, puisque
l'on est dans les racines de (E '),
simplement
remarquer que a + b + c = 0.
Exercice 2 : Spécialité:
1)
Pour x
= 1, pas de problème!
Pour x
différent de 1, il suffit de se rappeler de l'expression de (1+x
+ x²
+ ... + xk-1).
(Voir votre cours sur les suites géométriques!)
2) a:
Application directe de la question 1).
On
pose x
= ad
. Alors (ad
-1)(1 + ad
+ (ad)²
+ ... + (ad)k-1)
= (ad)k
- 1 = adk
- 1 = an
-1
D'où (ad
-1) divise an
-1.
b:
2004 est divisible par 3 donc, d'après le résultat précédent,
22004-1
est divisible par 23-1
= 7.
2004 est
divisble par 6 donc, 22004-1
est divisible par 26-1
= 63.
De plus,
63 = 7 * 9 donc 22004-1
est divisible par 9.
3) a:
On sait que si d
= pgcd(m
, n)
alors m = dm' et
n = dn'
avec pgcd(m'
, n' )
= 1.
Donc, d'après
le théorème de Bachet-Bezout, il existe u
et v
entiers relatifs tels que:
um'
- vn' = 1. D'où
il existe u
et v
entiers relatifs tels que : udm'
- vdn' = d.
D'où
il existe u
et v
entiers relatifs tels que um
- vn = d.
b:
Simple calcul sur les exposants!
(amu
- 1) - (anv-1)ad
= amu-1
- anv+d
+ ad
= ad
- 1 car nv+d = m.
On
en déduit donc que: (amu
- 1) = (anv-1)ad
+ ad
- 1.
C'est simplement
la division euclidienne de (amu
- 1) par anv
-1 car 0 <
ad
- 1 < anv
-1 .
De
plus, d
divise nv
donc ad
- 1 divise anv
-1 d'après le résultat de la question 2)a:.
D'après
l'algorithme d'Euclide , en en déduit que pgcd(amu
- 1 , anv
- 1) = ad
- 1.
c:
63 = 1*60 + 3 et 60 = 3*20 donc pgcd(63 , 60) = 3 donc
, d'après la question précédente:
pgcd(
263
- 1 ,260
- 1) = 23
- 1 = 7 .
Exercice 3: Commun à tous
les candidats
1) Réponse
D
2)
Réponse D
3) Réponse
B
4)
Réponse B
Exercice 4: Commun à tous
les candidats
1) On sait
que p([0;200[)
= 0,5 donc 
.
Or 
.
D'où l
vérifie l'équation : 0,5 = 1- e-200l
. d'où
2) On veut p([300 ; +oo[)
= 1 - p([0 ; 300[)
Un simple calcul
d'intégrale donne alors :
3) a: On peut faire une intégration
par parties.
D'où
la réponse ...
b) Si A
tend vers +oo alors Ae-lA
et e-lA
tendent vers 0 car l >
0 d'où dm = 1/l
= 289 semaines
Exercice 5 : Commune à tous
les candidats
1) x' = v d'où 25x"
+ 200x' = 50 si et seulement si 25v' + 200v = 50 d'où
la réponse ...
Equation différentielle
y ' = ay + b , voir votre cours !
Solution
de (F) : v(t) = ke-t/8
+ 2 où k = constante
réelle.
On a donc x '(t) = ke-t/8
+ 2 où k = constante
réelle.
2) a: On sait que x '(t)
= ke-t/8
+ 2 où k = constante
réelle et on a x '(0) = 0 d'où k = -2
d'où
x '(t) = -2e-t/8
+ 2.
De
plus, en intégrant, x (t) = 16e-t/8
+ 2t + c avec c = constante
réelle.
On sait
que x (0) = 0 d'où c = -16. D'où x (t)
= 16e-t/8
+ 2t - 16.
3) On sait que v(t)
= x '(t) = -2e-t/8
+ 2. Si t tend vers
+oo alors (e-t/8)
tend vers 0.
D'où la limite de v(t)
en +oo est 2.
Valeur
limite V = 2 donc 90%V = 1,8. On cherche les valeurs t telles
que v(t) < 1,8.
C'est
à dire telles que : -2e-t/8
+ 2 < 1,8 d'où
t < 8ln(10)