Retour Accueil              BAC S : Problème National Septembre 2003 (Voir la Correction)

Partie A: Une équation différentielle
On considère l'équation différentielle :
                                    
On donne une fonction j dérivable sur R et la fonciton f définie sur R par :  f(x) = e^-3xj(x) .

1. Montrer que f est dérivable sur R et pour tout x réel, exprimer j'(x) - 3j(x) en fonction de f '(x).
2. Déterminer f de sorte que j soit une solution de (E) sur R et vérifie j(0) = .

Partie B : étude d'une fonction
Soit  f  la fonction définie sur R par :    
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en -oo et en +oo, puis étudier les variations de f .
2. Tracer C.
3. Pour a réel non nul, on pose  :     
   a: Donner le signe et une interprétation graphique de I_a  en fonction de a.
   b: Exprimer I_a  en fonction de a  .
   c: Déterminer la limite de I_a lorsque a tend vers +oo

Partie C: étude d'une suite.
On définit , sur N* , la suite (u_n) par :   , où f est la fonction définie dans la partie B.
On ne cherchera pas à calculer u_n .

1. a: Donner, pour tout n de N *, le signe de u_n.
   b: Donner le sens de variation de la suite (u_n).
   c: La suite (u_n) est-elle convergente?
2. a: Montrer que, pour tout n de N* ,
       où I₁ est l'intégrale de la partie B obtenue pour a = 1.
   b: En déduire la limite de la suite (u_n). Donner sa valeur exacte.