Correction Problème Baccalauréat S National 2003
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Partie A
1. La solution générale de l'équation différentielle y' = ay est y = Ce^at
On a donc f(t) =  Ce^at  . On sait que f(0) = No donc C = No d'où
la solution de l'équation différentielle y' = ay qui vérifie la condition initiale f(0) = No est :
f(t) =  No.e^at

2.   f(t) =  No.2 ^{t / T}
T vérifie f(T) = 2 f(0)  d'où   No.e^aT =  2No  d'où aT =  ln(2) d'où a = ln(2) / T.
Donc, pour t réel, f(t) =  No.e^{t (ln(2)/T)} = No 2 ^{t / T}   

Partie B :
1.
a. Pour montrer que la fonction est la solution de l'équation différentielle (E'), il suffit de montrer que                  
OR , l'équation (E') s'écrit :
D'où  ce qui est bien l'équation (E ')

b. (E ') : y' + ay = a / M.

La solution générale de (E') est la somme de la solution de l'équation homogène associée
y' + ay = 0 et d'une solution particulière de (E')
On remarque que la fonction constante (1/M) est une solution particulière de (E').
D'où la solution générale de (E ') :
                                            , K  = constante réelle.

On en déduit que la fonction g vérifie:
                                         

c. h est une solution strictement positive de (E'), on a donc
    

On reconnait alors que ceci s'écrit  donc que (1/h) est bien solution de (E).

2.
a: On sait que  car a > 0. Donc
De plus , pour t réel , e^-at > 0 ; C >0 et M > 0 donc g(t) > 0.
Comme 1+Ce^-at > 1 , on a g(t) < M

b. On sait que pour a > 0 , (1 + Ce^-at ) est strictement décroissante et > 0.
De plus (M/t) est stricement décroissante sur ]0;+oo[.    g est donc strictement croissante sur [0;+oo[ comme composée de deux fonctions strictement décroissantes.   g est définie sur [0;+oo[ , g est strictement croissante sur [0;+oo[ et continue car dérivable sur [0;+oo[.     Comme la limite de g en +oo est M,
on en déduit, que l'image de [0;oo[ est [g(0) ; M[ et g est une bijection de [0;+oo[ sur [g(0) ; M[.
OR g(0) = M/(1+C) . Comme C>1 , on a donc g(0) < M/2.
Donc M/2 appartient à [g(0); M[ , donc il existe bien un réel unique to  > 0 tel que g(to) = M/2

c. On sait que d'où, en dérivant, on a:
                                  .
On sait que a > 0 et g ' > 0 sur [0;+oo[ donc g" est du signe de 1 - 2g / M .
Or, d'après la question précédente, comme g est strictement croissante sur [0;+oo[, on peut dire que:
1 - 2g(t) / M > 0 <=> g(t) < M/2  <=> t < to.
D'où g" > 0 sur [0 ; to]  et  g" < sur [to ; +oo[  d'où les variations de g' ....
On en déduit que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissant à partir de l'instant t_0.

    Expression de to en fonction de a et C :   to =

d. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction f sur l'intervalle [a,b] est : ..
    La question revient donc à calculer .
    OR : . Une primitive de g est donc :
    D'où la valeur moyenne de g sur [0 ; to] est
                      

Partie C :

1. On a f(0) = 1  et  f(0,5) = 2.   On utilise alors l'expression de f vue dans la partie A pour obtenir le système:
                        {No = 1   ;  No2^{0,5 / T} = 2 }   d'où No = 1 et  T = 0,5.
Comme f(t) =  No.e^at , on a alors l'égalité e^at  = 2^{0,5 / T} pour tout t réel d'om a = 2ln(2)  = ln(4)     

2.  On sait que . Comme a = ln(4) et e^-ln(4)t = 4^-t , on a donc
De plus , g(0) = No  = 1 , et on a donc C = 99.
D'où l'égalité

3. FAITES LE ....
    .