b: Le calcul montre que (c-a)/(b-a) = -i . En en déduit que (c-a) = -i(b-a).
C est donc l'image de B par la rotation de centre A et d'angle -p/2 .
D'où ABC est rectangle en A, et isocèle.
La forme complexe de r est : z' = -i(z - a) + a.
D = r(C) est donc le point d'affixe z' = -i(1+i - 2) + 2 = 3 + i .
b: Le cercle G a pour centre le point w(1;0). C'est le milieu de [BC]. De plus son rayon est 1.
L'image de ce cercle par r est un cercle de centre r(w). De plus, comme C appartient G ,
D=r(C) appartient à G '. L'image de G est donc le cercle de centre r(w) et passant par D.
Un simple calcul montre que r(w) a pour affixe 2 + i .
C'est donc l'ensmble des points M tels que wM = 1 .
En posant z = affixe de M, ceci signifie que |z-1|=1.
Il existe donc un réel q tel que z-1 = eiq d'où z = 1 + eiq .
Comme M est donné distinct de C et que q est défini à 2p près et que c-w = i ,
on peut choisir q dans [0 ; p/2[ U ]p/2 ; 2p[.
b: En utilisant la forme complexe de r , on a alors :
z' = -i(1 + eiq - 2) + 2 = i + 2 -ieiq .
c:
Ce complexe est réel si et seulement si il est égal à son conjugué.
Or,
Ce nombre complxexe est donc bien réel.
On en déduit alors que les points M, M' et C sont bien alignés.
d: On place le point M (vir figure) puis on trace la droite (MC) .
M' est le point d'intersection entre G ' et (MC) distinct de C .
