Correction Exercice Spécialité National 2003 S
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  1.  a: On remarque que les vecteurs de coordonnées et (2,0,-1) ne sont pas colinéaires.
      b: Les points O(0;0;0) et appartiennent tous les deux à P et Q.
           L'intersection de P et Q est sont la droite (OA).
           Une équation paramétrique de cette droite est alors :
                                          
    c: Un cône de révolution d'axe (Ox) admet pour équation : y ² + z ² = k.x ².où k est un réel.
         On sait que G passe par d'où k  = 7 .

  2.  Pour un plan d'équation "x = m",on a "y ² + z² = 7m²" > c'est un cercle
     Pour un plan d'équation "y = m",on a  7x² - z² = m" > c'est une hyperbole ( 2 droites si m=0).
     Pour un plan d'équation "z = m", on a "même réponse"

  3. a: Les restes d'un entier relatif modulo 7 sont 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. OR
        0² = 0 [7]  , 1² = 1 [7]  , 2² = 4 [7]  ,  3² = 2 [7]  , 4² = 2 [7] , 5² = 4 [7] et 6² = 1 [7]
        On constate alors que dans tous les cas, x² est distinct de 3 modulo 7.
    b: D'après les calculs effectués dans la question précédente, les carrés possibles, modulo 7, sont
        0  ,  1   , 2   , 4 .  Donc, pour tous a et b entiers relatifs, la somme a² + b² ne peut prendre que
        les valeurs suivantes modulo 7:
        0 = 0² + 0²  , 1 = 0² + 1² ,  2 = 0² + 1² = 1² + 1² , 3 = 1² + 3² , 4 = 3² + 3² = 1² + 4²
        5 = 1² + 2²  , 6 = 2² + 4² = 3² + 2² ...
        On constate alors que le cas seul donnant une somme a² + b² divisible par 7 est a = b = 0 [7].
        
  4. a: Si A(a , b , c) appartient à G alors b² + c² = 7a.
        Si de plus, a, b et c sont entiers relatifs, alors b² + c = 0  [7].
        Donc, d'après le résultat de la question précédente, b et c sont divisibles par 7.
        On pose alors b = 7d  et  c = 7e , où d et e  sont entiers relatifs .
        On a alors :  49d ²  + 49e ² = 7a ²  d'où   7(d ² + e ²) = a ².
         a ² est donc divisible par 7 .   Comme 7 est premier, on a alors a divisible par 7.
         On peut aussi reprendre les résultats de la question 3:a: pour voir que
         " si a² = 0 [7] alors a = 0 [7] " .
         Donc, on bien a , b et c divisibles par 7.
    b: Supposons qu'il existe une solution (a , b , c) différente de (0 , 0 , 0) de l'équation b² + c² = 7a²     
        Remarquons que l'on peut supposer que a , b , c sont des entiers naturels.
         Soit (x , y , z) une solution telle que x soit minimale . Autrement dit, on choisit une solution
         telle que x soit le plus petit possible (dans N*).
         D'après le résultat précédent, on a: x , y , z divisibles par 7.
         En posant alors x = 7X , y = 7Y et z = 7Z, on a alors Y² + Z² = 7X².
         OR, si x est non nul alors 0 < X < x. On a alors une solution (X, Y, Z) en entiers naturels
         avec X < x , ce qui contredit le caractère minimale de (x , y , z).
         Donc x = 0 et comme y² + z² = 7x² , on en déduit que y = z = 0.
         La seule solution en entiers de cette éqaution est donc (0 , 0 , 0).
         C'est bien le sommet de G.