Correction des Exercices Pondichéry Juin 2002

Exercice 1:  Retour à l'Exercice
Partie A:
1:
a) (C) est le cercle de centre A et de rayon 1. B appartient donc à (C) si et seulement si AB = 1.
En prenant les affixes de ces points, cela signifie que |zB - zA| = 1.
Or, zB - zA = eip/3 et | eip/3 | = 1 d'où la conclusion .
b) On sait, voir le cours, qu'une mesure en radian de l'angle de vecteurs ( ; ) est un argument de.
On remarque alors ce complexe est : eip/3  , dont un argument est  p/3 ,
d'où une mesure en radian de l'angle de vecteurs  ( ; ) est p/3 .
2:
a) Sans problème!  zB - zA = eip/3  = cos(p/3) + isin(p/3)  et    zE - zA =(1+ zB 2 ) -1 = (1 + eip/3 )2 = 3eip/3  (On peut voir cela en développant).
b) On peut alors voir que les points A, B et E sont alignés car (au choix!)  zB - zA = 3(zE - zA)    ou      est réel

Partie B:
1: Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs (  ,  ).
2: Les points A, M et M' sont alignés si et seulement une mesure en radian de l'angle de vecteurs
(  ,  ) est  0 à p près , donc si et seulement si le complexe a 0 pour argument à p près
ce qui signifie que ce complexe est réel.
Or, , d'où A, M et M' sont alignés si et seulement si est réel .

 

Exercice 2: (Spécialité)  Retour à l'Exercice
1: PGCD(45-1 ; 46-1) = 3.   Pour voir cela, on peut , par exemple, directement calculer ces entier et écrire leurs décomposition en facteurs premiers.
Ainsi , 45-1 = 1023 = 3.11.31   et  46-1 = 4095 = 32.5.7.13 d'où PGCD = 3.
On peut aussi utiliser l'Algorithme d'Euclide.
On voit alors que 46-1 = 4(45-1) + 3  et  45-1 est divisible par 3 (évident en passant aux congruences modulo 3) donc PGCD = 3.
Le dernier reste non nul dans l'Algorithme d'Euclide est 3 donc PGCD = 3.

2:    u2 = 5      u3 = 21    u4 = 85 . (normalement)

3:
a) On peut remarquer que pour tout entier naturel n , un+2 = 5un+1 - 4un  , donc un+2 - 4un+1 . == un+1 - 4un .
La suite ( un+1 - 4un ) est donc constante. Or , d'après les valeurs données u0 = 0 et u1 = 1 , on a : u1 - 4u0 = 1 .
On a donc bien pour tout entier naturel n , un+1 = 4un + 1 .
b) Evident par récuurence.
c) Comme un+1 = 4un + 1  , on a : un+1 - 4un = 1 donc d'après BEZOUT, on a : PGCD(un+1 , un )= 1 .

4:
a) Question classique et sans difficulté.
b) vn = (1/3).4n  et  un =  [4n -1]/3    
c) On remaque que 4n+1 -1 = 4(4n -1) + 3   et   4n -1 est divisible par 3 .
Donc, le dernier reste non nul dans l'algorithme d'Euclide de la recherche du PGCD de 4n+1 - 1 et 4n -1 est 3.
Donc PGCD(4n+1 - 1 ; 4n -1 ) = 3

 

Exercice 2: Non Spécialité  Retour à l'Exercice
Partie A:
1. L'univers est l'ensemble des combinaisons de 2 boules parmi n+8.
Il y a n boules blanches parmi les (n + 8) boules donc le nombre de tirages de 2 boules blanches est : .
D'où :
2. a) De même  

Les événements "2 blanches" , "2 rouges" et "2 vertes" sont à intersection vide 2 à 2, on a alors:



d'où :
b) .  Si le nombre de boules dans l'urne est assez grand, on doit s'attendre à tirer 2 boules blanches avec une très forte probabilité.

Partie B:.
1.
2.
a) Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : 50 , 15 et -20 .
On a :
 *  "X = 50" si la personne tire 2 fois de suite des boules de même couleur  (50 = -30 + 40 + 40)
 *  "X = 15" si la personne tire 1 fois seulement des boules de même couleur (15 = -30 + 40 + 5)
 *  "X = -20" si la personne tire 2 fois de suite des boules de couleurs différentes (-20 = -30 + 5 + 5)

b) Comme les résultats des tirages sont supposés indépendants les uns des autres, on a:
    

c) D'où l'espérance de X: