Bac S Juin 2002 PONDICHERY (3 exercices et le problème)

Exercice 1:  Voir la Correction
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal . unité graphique = 2cm
On désigne par A le point d'affixe zA = 1 , et par (C) le cercle de centre A et de rayon 1.
Partie A:
Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe zB = 1+ eip/3 et E le point d'affixe (1+zB2).

  1. a) Montrer que le point B appartient à (C)
    b) Déterminer une mesure en radians de l'angle de vecteurs . Placer le point B .
  2. a) Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB-zA) et (zE -zA).
    b) en déduire que les points A , B et E sont alignés.
  3. Placer le point E .

Partie B:
Pour tout nombre complexe tel que z 1, on considère les points M et M ' d'affixes respectives z et z'
où z' = 1+ z².

  1. Pour tout z 0 et z 0 , donner, à l'aide des points A , M et M ' , une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe .
  2. En déduire que A , M et M ' sont alignés si et seulement si est un réel.

Exercice 2: (Spécialité)  Voir la Correction

  1. Calculer le PGCD de 45-1 et 46-1.
    Soit u la suite numérique définie par :
    u0 = 0 , u1 = 1 et pour tout tout entier naturel n , un+2 = 5un+1 - 4un .
  2. Calculer les termes u2 , u3 et u4 de la suite u .
  3. a) Montrer que la suite u vérifie , pour tout entier naturel n , un+1 = 4un + 1
    b) Montrer que, pour tout entier naturel n , un est un entier naturel.
    c) En déduire , pour tout entier naturel n , le PGCD de un  et un+1 .
  4. Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par
    a) Montrer que v est une suite géométrique on déterminera la raison et le premier terme v0 .
    b) Exprimer vn puis un en fonction de n .
    c) Déterminer , pour tout entier naturel n , le PGCD de 4n+1 - 1 et de 4n -1 .

 Exercice non Spécialité   Voir la Correction

Partie A
Une urne contient n boules blanches (n dans N), 5 boules rouges et 3 boules vertes.
On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

  1. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches ?
  2. On note p(n) la probabilité de tirer 2 boules de même couleur.
    a) Montrer que .
    b) Calculer . Interpréter ce résultat.

Partie B
Pour les questions suivantes n = 4.

  1. Calculer p(4) .
  2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne.
    Un joueur effectue 2 tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les 2 boules tirées la première fois.
    Il mise au départ la somme de 30 euros.
    Pour chaque tirage:
    - si les 2 boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros,
    - si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.
    On appelle gain du joueur la différence , à l'issue des 2 tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif) .
    On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
    a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
    b) Déterminer la loi de probabilité de X .
    c) Calculer l'espérance de X .

PROBLEME
Le plan est muni d'un repère orthonormal : unité graphique = 2cm
Pour tout entier naturel n , on considère la fonction fn définie sur R par :
On désigne par  Cn la courbe représentative de fn dans .
Partie A:
Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux fonctions f0 et f1 coreespondant à n = 0 et n = 1.

  1. a) Déterminer la limite de f0 (x)  quand x tend vers -oo.
    b) Déterminer la limite de f0 (x)  quand x tend vers +oo.
    c) En déduire les asymptotes de C0 .
  2. Montrer que le point est un centre de symétrie de C0 .
  3. Etudier les variations de f0 .
  4. a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C0 au point K.
    b) Justifier que, pour étudier la position de T par rapport à la courbe C0 , il suffit d'étudier sur R le signe de g(x) , où g(x) = 2ex - xex - 2 - x .
    c) Calculer g'(x) et g''(x).
    d) Déterminer, en les justifiant, les signes de g''(x) , g'(x) et g(x) suivant les valeurs de x .
    e) En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbe C0 .
  5. Tracer C0 et T dans le repère (O ; i , j).
  6. a) Montrer que pour tout réel x , les points M(x ; f0(x)) et M '(x ; f1(x)) sont symétriques par rapport à la droite d d'équation y = 1/2 .
    b) Combien obtient-on C1 .à partir de C0 ? Tracer C1 .

Partie B:
Etude de la suite u définie pour tout entier naturel n par : .

  1. Montrer que
  2. Montrer que u0 + u1 = 1. En déduire u1 .
  3. Montrer que la suite u est positive.
  4. On pose k(x) = fn+1(x) - fn(x)
    a) Montrer que , pour tout réel x ,
    b) Etudier le signe de k(x) pour x dans [0 ; 1].
    c) En déduire que la suite u est décroissante.
  5. a) Montrer, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
    b) Calculer u2 .
  6. Soit v la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par : .
    a) Calculer la limite de vn quand n tend vers +oo.
    b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : 0 <  un <  vn .
    c) En déduire la limte de un quand n tend vers +oo.