Retour au Problème :    CORRECTION PROBLEME Bac S National Juin 2002

Partie A:
1:
a: On sait que . On en déduit que : d'où .
  
b: On a f(x) = x/2 + h(x) avec h(x) = 0,5(1-x)e^2x . Comme h(x) tend vers 0 si x tend vers -oo, la droite D est bien asymptote à C en -oo.
    De plus, f(x) - x/2 est du signe de (1-x).  Donc, D est au-dessus de C sur [1;+oo[ et en-dessous de C sur ]-oo;1].

2:  

3:
a: La dérivée de u est : u'(x) = -4xe^2x .  Comme e^2x > 0 sur R, on en déduit que u'(x) > 0 si et seulement si x < 0.
u est donc strictement croissante sur ]-oo;0] puis strictement décroissante sur [0;+oo[.
b: On peut voir que . Donc u(x) > 0 sur ]-oo;0].
De plus, u est continue et strictement décroissante sur [0;+oo[. Comme u(0) = 2 et u(1) = 1-e² < 0, on en déduit , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe un réel unique a solution de l'équation "u(x) = 0" et que a appartient à l'intervalle [0;1].
a = 0,639 à 0,001 près par défaut.
c: De là, on peut dire que u(x) > 0 sur ]-oo;a] et u(x) < 0 sur ]a;+oo[

4:
Comme f '(x) = u(x)/2 , on en déduit que f '(x) et u(x) sont de même signe sur R , et donc que
f est strictement croissante sur ]-oo;a] puis strictement décroissante sur [a;+oo[.

Partie B:
1: La tangente (T_t) au point M_t à G a pour équation : y = e^t(x-t) + e^t.
Le point N_t a doncpour coordonnées : (0 ; -te^t + e^t ).

2: a)On place les quatres points M , N ,O et P. Puis les milieux de [MN] et [OP]. Puis le point G.

b) G_t a pour coordonnées

3: Si t décrit R , alors t /2 décrit aussi R et donc le point G_t parcourt l'ensemble de la courbe C.

Partie C:
1)
2) L'aire de A, en cm² , est donnée par :  
 Or:    et