Retour Accueil     PROBLEME BAC S National Juin 2002  Voir la Correction

Partie A
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 0,5(x + (1-x)e^2x) .
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j).(Unité graphique 2 cm)

1)
    a) Déterminer les limites de f en -oo et en +oo.
    b) Montrer que la droite D d'équation y = x/2est asymptote à C.
        Etudier la position de C par rapport à D.

2) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f '(x).

3) Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 1+ (1 - 2x)e^2x .
    a) Etudier le sens de variation de u.
    b) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique a dans l'intervalle [0;1].
        Déterminer une valeur décimale approchée par excès de a à 10^-2 près.
    c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

4) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

Partie B
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; i , j), on considère la courbe G d'équation y=e^x et

la droite D d'équation y =x.  Les courbes G et D sont tracées ci-dessous :

1) Soit t un réel ; on désigne par M_t le point de G d'abscisse t.
   La tangente à G au point M_t coupe l'axe des ordonnées au point N_t.
   Déterminer les coordonnées du point N_t.

2) On désigne par P_t le point de D d'abscisse t et par G_t l'isobarycentre des points O, M_t, P_t et N_t.       
    a) Placer les points M_-2, P_-2 et N_-2 puis construire, en justifiant, le point G_-2 sur la feuille annexe.
    b) Déterminer en fonction de t les coordonnées du point G_t.

3) Quel est l'ensemble des points G_t, quand t décrit R ?

Partie C
1) Construire la courbe C de la partie A sur la feuille annexe à votre sujet.

2) Calculer l'aire A, en cm², du domaine plan délimité par la courbe C, la droite D et les
    droites d'équation x = 0 et x = 1 (on pourra utiliser une intégration par parties).