Ex 1 : Antille-Guyane 1995

Une personne recoit 200 000 F en héritage.
Le 1er janvier 1995, elle a placé cette somme à intérêts composés au taux annuel de 7,5%

1 : De quelle somme disposera-t-elle le 1er janvier 1996?
2: On pose Uo = 200 000. On désigne par U _n la somme dont elle dispose le 1er janvier de l'année (1995+n).
a: Etablir une relation entre U _n+1 et U _n .
    En déduire que la suite (U _n ) est une suite géométrique dont on  précisera la raison et le premier terme.
b: Exprimer U _n en fonction de n.
c: Calculer U ₁₂ .

3: Une publicité annonce: "Gagnez de l'argent avec le placement GENEREUX qui rapporte 100% en 12 ans"
a: Ce placement est-il plus ou moins intéressant que le précédent? Justifier la réponse.
b: Déterminer son taux annuel sachant qu'il s'agit aussi d'un placement à intérêt composés.
Correction 

Ex2 : Centres Etrangers 1995
En 1990, Monsieur Dufisc a fait sa première déclaration d'impôts sur le revenu:
Il a déclaré un revenu annuel de 90 000 francs, l'impôt correspondant s'est élevé à 8000 francs et
son revenu après impôt a donc été de 82 000 francs.
Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2% et l'impôt correspondant
a augmenté de 3%.
Monsieur Dufisc souhaite étudier ce qu'il adviendra de son revenu après paiement de l'impôt
si l'évolution constatée se poursuivait.
Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier n positif ou nul,
on note: Rn le montant, exprimé en francs, du revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990+n),
In le montant, exprimé en francs, de l'impôt correspondant,

Un = Rn - In, le revenu après impôt.
Ro = 90 000 , Io = 8 000 , Uo = 82 000

1.a: Calculer R ₁ , I ₁ , U ₁ , R ₂ , I ₂ , U ₂ .
   b: Montrer que, pour tout entier positif n , on a : R _n = 90 000.(1,02) ⁿ et I _n = 8 000.(1,03) ⁿ .

2.a: Montrer que, pour tout entier positif n, U _n+1 - U _n = 1800.(1,02) ⁿ - 240.(1,03) ⁿ .
   b: Montrer que Un+1 < Un si et seulement si .
   c: Déterminer les entiers positifs n qui vérifient .

3: Si l'évolution que Monsieur Dufisc a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit,   Monsieur Dufisc verra-t-il son revenu après impôt diminuer?
Correction 

Ex 3: Centre Etrangers Nov 95
On considère la suite ( U _n ) définie par : U ₀ = e et, pour tout entier naturel n , .
On pose, pour tout entier naturel n , V _n = ln ( U _n ).

1. a: Montrer que, pour tout entier naturel n , En déduire la nature de la suite ( V _n ).
    b: Donner l'expression de V _n en fonction de n . En déduire l'expression de U _n en fonction de n .

2. Pour tout entier naturel n, on pose    S _n = V ₀ + V ₁ + V ₂ + ...+ V _n et P _n = U ₀ .U ₁ ....U _n .
   a: Montrer que .
   b: Exprimer Sn en fonction de n .
   c: En déduire l'expression de Pn en fonction n .

3. Déterminer la limite de la suite ( Sn ). En déduire celle de la suite ( Pn )
Correction