Correction Exercice 2 Liste 2 Antilles-Guyanne Bac ES 2001
Partie A:
1: Graphiquement, on
peut voir que le minimum de f est atteint pour x0
= 1 et que ce minimum est f(1) = 1.
On
peut aussi faire une rapide étude de la fonction f et voir
que sa dérivée est : f '(x) = 1-1/x
= (x-1)/x .
On obtient
alors simplement le tableau de signes de f '(x) puis celui
de variations de f.
On peut alors dire
que pour tout x > 0 , on a : f(x) > 1
Il est admis par l'énoncé
que pour tout n entier, un est > 0.
On
en déduit donc que pour tout n > 1 , on
a : un+1 = f(un)
> 1
Comme de plus u0
= 7 , on peut dire que pour tout n entier naturel, on a bien
: un > 1.
2: Pour n entier naturel, on a :
un+1
- un = f(un) - un
=
un - ln(un) - un
=
-ln(un).
On sait que
pour x > 0 , on a ln(x) est > 0 si et seulement
si x est > 1.
D'après
la question précédente, pour tout n entier
naturel, on a : un > 1. Donc, ln(un)
> 0.
Donc, pour tout n entier
naturel , on a : un+1 - un
= -ln(un) < 0 .
La
suite (un) est donc décroissante.
Partie B:
1: et 2: Voir la figure
ci-dessous. La droite (D) est en vert.
3:
On peut conjecturer que la suite (un) converge
vesr l'abscisse du point d'intersection de la droite (D) et de la
courbe de f. C'est à dire, que la suite (un)
converge vers 1.