Exercice 1: National juin 2001 Bac ES Voir la CORRECTION
Un
club de sport propose deux types d'abonnements non permutables.
Formule
A: une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute
la première année seulement un droit d'entrée
de 10 000 F.
Formule B: une cotisation annuelle initiale de
1 000 F qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année,
pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction
de 50 F sur la cotisation annuelle. Si Cn est la montant,
exprimé en francs, de la cotisation annuelle de n-ième
année, on a
C1
= 1000 et pour tout entier n
supérieur ou égal à 1 , Cn+1 = 1,1Cn
- 50
1: Déterminez la somme Tn versée au club de sport par membre pendant n années avec la formule A.
2: Soit (Dn) la suite définie pour tout entier
n supérieur ou égal à 1 par Dn =
Cn + a où a
est un réel.
Déterminer
le réel a pour que la suite (Dn)
soit une suite géométrique de raison 1,1 et précisez
le
terme initial de la suite.
3: On suppose dans cette question que a
= -500.
a: Exprimer Dn puis Cn
en fonction de n
b: Soit Sn la somme
versée au club par un membre pendant n années avec
la formule B.
Montrez
que Sn = 5000[(1,1)n -1] + 500n
c:
Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser
pour que la formule A soit plus
avantageuse
que la formule B?
Exercice 2 : Antilles-Guyane Juin 2001 Bac ES
Voir la CORRECTION
La courbe de la fonction
f définie sur ]0;+oo[ par : f(x) = x - ln(x)
est donnée ci-après.
On considère la suite
(un) à termes strictement positifs (admis)
définie par :
u0
= 7 et pour tout n entier positif, un+1
= f(un) .
Partie A:
1: Au moyen du
graphique donné ci-après, déterminer le minimum
de f sur ]0;+oo[ , et en en déduire que pour tout n
entier naturel, on a : un > 1
.
2: Exprimer un+1 - un
en fonction de un. Montrer que la suite (un)
est monotone décroissante.
Partie B:
1: Construire
dans le repère de la courbe (C) de f la droite (D) d'équation
"y = x ".
2: En vous aidant de la droite (D),
représenter sur l'axe des abscisses du graphique les cinq
premiers termes de la suite (un).
3: Quelle
conjecture peut-on faire en ce qui concerne la limite de la suite
(un) ?
