Exercice 1:
(un) est la suite définie
par la relation:
On définie aussi la fonction f sur l'intervalle [0;+¥[
par la relation:
"Pour tout x >
0 , 
."
1: A l'aide de votre machine à calculer, donnez une valeur approchée
à 0,0001 près par défaut de u4
et de u8 .
2: a: Etudiez les variations
de f sur [0;+ ¥[,
ainsi que la limite de f(x) si x tend vers +¥
.
b: Tracez la courbe de f dans dans
un repère orthonormé (unité=2cm) ainsi que
la droite (D) d'équation "y = x".
c:
Déterminez les coordonnées des points d'intersection
entre la courbe de f et la droite (D).
d:
Quelle est la position de (D) par rapport à la courbe de
f ?
3: On définit les suites de points (Mn)
, (An) et (Bn) suivants:
Coordonnées
de Mn = (u;n ;
un
)
Coordonnées de An
= (un
; 0)
Coordonnées
de Bn = (un
; un
+1).
a:
Placez sur la figure les points A0 , B0 ,
M1 , A1 , B1 et M2.
b:
On admet que pour tout n entier naturel, un
est > . Montrez alors que la suite (un) est décroissante.
c:
Placez sur la figure les points A4 et A8 en
utilisant la courbe de f et la droite (D).
Que
peut-on conjecturer sur la limite de la suite (un)
?
Exercice 2:
(un)
est la suite réelle définie pour n entier naturel
par les relations:
u0
= 6 et pour tout n entier naturel
: un+1 = (0,3)un - 4.
1:
Calculez les 3 premiers termes de cette suite.
2: Soit a
un réel fixé. On pose pour n entier naturel
: Vn = un - a
.
a: Exprimer en fonction de a
, V0 , V1 et V2.
b:
Déterminez a tel que V0
, V1 et V2 soient trois termes consécutifs
d'une suite géométrique.
Montrez que pour cette valeur de a,
la suite (Vn) est bien géométrique.
Exprimez
alors (Vn) en fonction de V0
et de n. Déduisez-en l'expression de un
en fonction de u0 et n.
Quelle
est la limite de la suite (un) ? Justifiez la réponse.
3:
On pose Sn = V0 + V1 + ...
+ Vn et Tn
= u0 + u1 + ... un.
a:
Quelle est l'expression de Sn en fonction de n
? Déduisez-en l'expression de Tn en fonction
de n.
b: Quelle est la limite
de la suite (Sn)? Quelle est la limite de la suite
(Tn) ? Justifiez vos réponses.
Exercice 3:
On
définit les deux arithmétiques suivantes:
et 
1:
Quelle est la raison de la suite (U)? de la suite (V) ?
2: Donnez
l'expression de Un en fonction de n puis l'expression
de Vn en fonction de n
3: Montrez que la suite (Wn)
définie par : "Pour tout n entier, Wn = Un
+ Vn" est une suite
arithmétique.
Quelle est sa raison? Quelle est l'expression de Wn en
fonction de n ?
4: Calculez U0 + U1 + U2
+ ... +U30 et V0 + V1
+ V2 + ... + V30.
Calculez
alors W0 + W1 + W2 + ... + W30.
5:
Déterminez les entiers n tels que (U0 + U1
+ U2 + ... + Un < -1200 ).
Exercice 4:
La population
d'une ville au mois de janvier 2001 est de 25 000 habitants. Un
programme de construction immobilière prévoit la construction
de nouveaux logements dans cette ville et une estimation réalisée
par les services municipaux conduit à penser que la population
doit augmenter de 1250 habitants par an durant les années
à venir.
On estime que ce programme immobilier ne va pas
plaire à tous les habitants de cette ville et que 250 anciens
habitants de cette ville partiront par an durant les prochaines
années.
On appelle Po le nombre d'habitants en janvier
2001 , P1 le nombre d'habitants en janvier 2002 , ... , etc, et
Pn le nombre d'habitants en janvier de l'année (2001+n).
1:
Quelle est la valeur de P1 ? de P2 ? de P3?
2: Montrez que la
suite (Pn) est arithmétique et donnez sa raison.
3: A
partir de quelle année peut-on estimer que la populaion de
cette ville dépassera les 50 000
habitants
?
4: A partir de quelle année la population nouvelle attirée
par les constructions immobilières sera
plus
importante que la population ancienne, celle présente avant
le programme immobilier ?
5: A partir de quelle année
la ville ne comptera plus parmi ses habitants de membres de l'ancienne
population
?
Exercice 5:
Une
personne fait un héritage de 100 000 euros. Prudente, elle
décide de placer cette somme d'argent en obligations d'Etat
qui lui rapporte 7% en intérêts simples. Comme ses
besions en argents ne sont pas importants, elle décide que,
tant que le capital résultant de son placement n'a pas atteint
150 000 euros, elle laisse son argent sur les Obligations d'Etats.
Dès que le capital dépasse 150 000 euros, elle demandera
le versement en liquide de ses intêrèts.
Question
:
En quelle année demandera-t-elle le versement des intêrèts?
Exercice 6:
On sait
que A, B et C sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.
On
sait que A + B + C = 250 et 2A
+ 3B +4C = 500
Question:
Déterminez
A , B , C et la raison de cette suite.