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Correction exercice 1 liste 4 SUITES

1: u₁ = 3.6     u₂ = 4.88       u₃ = 5.904
2: La suite (v_n) est géométrique s'il existe un réel q tel que pour tout n entier naturel,
   on a: v_n+1 = qv_n
    Or , la définition de la suite (v) donne la relation:
     
3: a: Pour a = -10, la suite (v) est géométrique de raison (0,8).
        On sait alors que l'expression de v_n en fonction de n est : v_n = (0,8)ⁿv₀.
        Comme v₀ = 3,6 , on obtient : v_n = 3,6(0,8)ⁿ
     b: Comme un = vn + 10 , l'expression de un en fonction de n est alors:
         u_n = 10 + 3,6(0,8)ⁿ.
         On sait que |0,8| < 1 donc que la suite (v) géométrique de raison (0,8) tend converge vers 0.
          De la relation  u_n = v_n + 10 , on en déduit alors que (u_n) converge vers 10.
4: a: T_n est la somme de (n+1) termes consécutifs d'une suite géométrique de raison
        (0,8) et de premier terme 3,6.
        
         On en déduit, comme [(0,8)ⁿ⁺¹] converge vers 0, que (T_n) converge vers 18.
     b: Comme u_n = v_n + 10 , pour tout n entier, on a:
         S_n = u₀ + u₁ + ...+u_n
              = (v₀+10) + (v₁+0)+....+(v_n+10)  (il y a n+1 termes )
              = (v₀ + v₁ + ... + v_n ) + 10(n+1)
              = 18[1 - (0,8)ⁿ⁺¹] + 10(n+1)  , d'après le résultat précédent.