Exercice 1:  Voir la CORRECTION
On définit la suite suvante : u₀ = 2 et pour tout n entier naturel : u_n+1 = (0,8)u_n + 2.
1: Calculez u₁ , u₂ et u₃.
2: Déterminez un réel a tel que la suite (v_n) définie par v_n = u_n + a soit une suite géométrique.
On pose alors pour tout n entier naturel v_n = u_n - 10.
3: a: Calculez v₀ puis donnez l'expression de v_n en fonction de n.
    b: Quelle est l'expression de u_n en fonction de n? Déterminez la limite de la suite (u_n).
4: Pour n entier naturel, on pose : S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n  et   T_n = v₀+ v₁ + ... + v_n.
    a: Quelle est l'expression de T_n en fonction de n? Quelle est la limite de la suite (T_n)?
    b: Quelle est l'expression de S_n en fonction de n? Quelle est la limite de la suite (S_n)?

Exercice 2:  Voir la CORRECTION
Une personne décide de placer sur un livret d'épargne et ceci tous les ans, la somme de 10 000 Euros.
Ce livret d'épargne rapporte 8% d'intérêts composés par an.
Le premier dépôt sur le livret est effectué le 1°janvier 2001. Les intérêts sont versés sur le livret le 31 décembre de l'année en cours. (les premiers intérêts seront versés le 31 décembre 2001).
On appelle (C_n) le capital disponible en euros, au 1° janvier de l'année (2001+n). Ainsi , C₀ = 10 000.
1: Calculez C₁ et C₂.
2: Montrez que la suite (V_n) définie par : V_n = C_n + 125000 : est une suite géométrique.
    Quelle est sa raison? Donnez l'expression de V_n en fonction de n puis celle de C_n en fonction de n.
3: Quel sera le capital disponible sur le livret au 1° janvier 2012 ? (résultat arrondi à l'entier le plus proche)

Exercice 3: Cet exercice est un condensé des deux exercices précédents
La population d'une ville est, pour l'année 2002, de 55 000 habitants. On estime que cette population devrait évoluer dans les années à venir pour deux raisons:
      a: Un accroissement naturel de 1,25% par an qui correspond à la natalité.
      b: Une arrivée de 250 nouveaux habitants par an qui correspond à une augmentation du nombre de logements.
On appelle P_n le nombre de milliers d'habitants prévisible de cette ville pour l'année (2002+n). Ainsi, P0 = 55.
1: Calculer P₁ , P₂ et P₃ (résultats arrondis à l'entier le plus proche).
2: Quelle l'expression de P_n+1 en fonction de P_n? La suite (P_n) est-elle arithmétique? géométrique?
    (réponse à justifiées)
3: Déterminez un réel a tel que la suite (U_n) définie par U_n = P_n + a soit géométrique.
On pose alors a = -20.
4: Donnez l'expression de U_n puis celle de P_n en fonction de n.
   A partir de quelle année la population de cette ville dépassera les 75 000 habitants?

Exercice 4:  Voir la CORRECTION
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 0,75x + 2. (D) est la droite qui représente cette fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé.
                                           (D) : y = 0,75x + 2
On appelle (D ' ) la droite d'équation : y = x.
1: Représentez sur une figure les droites (D) et (D ').
    Déterminez les coordonnées du point L l'intersection de ces deux droites.
2: On définit la suite (u_n) par : u₀ = 0 et pour tout n entier naturel, u_n+1 = f(u_n).
    A_n , B_n et U_n sont les points de coordonnées respectives (u_n ; 0)  , (u_n ; u_n+1) ; (u_n ; u_n).
   a: Placez sur la figure A₀ , B₀ , U₀ , A₁ , B₂ , U₁ et A₂.
   b: Montrez que la suite (v_n) définie par v_n = u_n - 8 , est géométrique.
       Donnez alors l'expression de v_n, puis celle de u_n en fonction de n.
       Etudiez la convergence de la suite (u_n).
   c: Que peut-on en déduire pour les suites de points (A_n) , (B_n) et (U_n) ?