a est un nombre réel tel que
(Un) est la suite réelle définie pour n entier naturel non nul par les relations:
1. Démontrer que: Un > 1 pour tout naturel n non nul
2. On pose pour n entier naturel non nul:
.a: Montrer que la suite (Vn) est géométrique.
b: Exprimer Vn en fonction de n et de a, puis Un en fonction de n et de a.
c: Les suites (Vn)et (Un) sont-elles convergentes ? Justifiez la réponse.
3: Pour tout entier naturel non nul n , on pose
Sn = U1 + U2 + ... + Un .
a: Quelle est l'expression de Sn en fonction de n ?
b: Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +oo.
4: Donner la valeur de S3 de cos(a) .
Exercice 2: Voir
la CORRECTION
Soient les suites (Un) et (Vn) definies sur IN par:
1:
Démontrer que la suite (Vn) est géometrique.
2:
Calculer V0 et
exprimer Vn en fonction de n .
En deduire que pour tout entier naturel
n ,
3:
Prouver que (Un) peut s'ecrire sous la
forme d'une somme d'une suite géométrique (Tn )
et d'une suite arthmétique
(Wn).
4: Calculer Sn=T0 + T1+ ...+Tn et S'n = W0+W1+....+Wn
En deduire S" n =
U0+U1+...+Un
Exercice 3:
On définit la suite (Un),
pour n entier naturel par les relations suivantes:
1:
Calculer Un pour n = 2 , 3 , 4 et 5.
2:
Soient a et b
les racines du polynôme : x² - x - 1 ,
avec telle que a soit > 0.
a:
Déterminer les valeurs de a et
de b.
b: Montrer
qu'il existe deux réels A et B tels que {A + B = U0
et aA + bB
= U1}
c: Montrer alors par
récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
Aan + Bbn
= Un .
3: Pour n entier naturel, on
pose : Sn = U0 + U1 + ...+
Un
a: En utilisant
la question 2:, donner l'expression de Sn en fonction
de n.
b: Etudier alors la convergence
de Sn.
4: Pour n entier naturel >
0 , on pose : 
a:
Quelle est l'expression de Fn en fonction de n
?
b: Etudier alors la convergence de (Fn).
Exercice
4:
e désigne la base des logarithmes népériens
1.
Démontrer que
en+1 > 2 en pour tout n entier naturel
2. Soit (Un) la suite définie
par: 
,
pour tout n entier
naturel.
a: Préciser le sens de variation de la suite (Un).
b: En déduire
que Un > e , pour tout entier naturel n non nul.
c: Calculer la limite de Un.lorsque
n tend vers +oo
3. . On considère la suite (Sn) définie pour
tout entier naturel n par:
Sn=U0
+ U1 + ... + Un - n .
a:
Démontrer que la
suite (Sn ) est une suite géométrique, dont on précisera la raison
.
b: Déterminer les entiers naturels tels que: Sn
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